BAC S COMPLEXE Metropole 2009
Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct \Ouv, on associe à tout point M d'affixe z non nulle, le point M′ milieu du segment [MM1] où M1 est le point d'affixe 1z.
Le point M′ est appelé l'image du point M.
Montrer que les distances OM et OM1 vérifient la relation OM×OM1=1 et que les angles (→u ; →OM1) et (→u ; →OM) vérifient l'égalité des mesures suivantes
(→u ; →OM1)=−(→u ; →OM) à 2π près.
Sur la figure donnée en annexe 2 (à rendre avec la copie) le point A appartient au cercle de centre O et de rayon 2.
Construire le point A′ image du point A. (On laissera apparents les traits de construction).
Justifier que pour tout nombre complexe z non nul, le point M′ a pour affixe z′=12(z+1z).
Soient B et C les points d'affixes respectives 2i et −2i. Calculer les affixes des points B′ et C′ images respectives des points B et C.
Placer les points B, C, B′ et C′ sur la figure donnée en annexe 2 (à rendre avec la copie).
Déterminer l'ensemble des points M tels que M′=M.
{Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
Montrer que si le point M appartient au cercle de centre O et de rayon 1 alors son image M′ appartient au segment [KL] où K et L sont les points d'affixes respectives −1 et 1.
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