BAC S COMPLEXE Metropole 2009

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct \Ouv, on associe à tout point M d'affixe z non nulle, le point M milieu du segment [MM1]M1 est le point d'affixe 1z.

Le point M est appelé l'image du point M.

Montrer que les distances OM et OM1 vérifient la relation OM×OM1=1 et que les angles (u ; OM1) et (u ; OM) vérifient l'égalité des mesures suivantes
(u ; OM1)=(u ; OM) à 2π près.
Sur la figure donnée en annexe 2 (à rendre avec la copie) le point A appartient au cercle de centre O et de rayon 2.

Construire le point A image du point A. (On laissera apparents les traits de construction).

Justifier que pour tout nombre complexe z non nul, le point M a pour affixe z=12(z+1z).
Soient B et C les points d'affixes respectives 2i et 2i. Calculer les affixes des points B et C images respectives des points B et C.
Placer les points B, C, B et C sur la figure donnée en annexe 2 (à rendre avec la copie).

Déterminer l'ensemble des points M tels que M=M.
{Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

Montrer que si le point M appartient au cercle de centre O et de rayon 1 alors son image M appartient au segment [KL] où K et L sont les points d'affixes respectives 1 et 1.

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