BAC S COMPLEXE Polynesie_juin 2009
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct.
On supposera connus les résultats suivants :
∙ Pour tous points A, B et C du plan d'affixes respectives a, b et c, avec A ≠ C et A~≠~B :
|b−ac−a|=ABAC et arg(b−ac−a)=(→AC, →AB)+k×2π~où k est un entier relatif ;
∙ Soit z un nombre complexe et soit θ un nombre réel :
z=eiθ si et seulement si |z|=1 et arg(z)=θ+k×2π où k est un entier relatif.
Démontrer que la rotation r d'angle α et de centre Ω d' affixe ω est la transformation du plan qui à tout point M d'affixe z associe le point M′ d'affixe z′ telle que : z′−ω=eiθ(z−ω).
\textbf{Partie B }
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv, unité graphique 1~cm.
Soit f l'application qui, à tout point M d'affixe z associe le point M′ d'affixe z′ telle que :
z′=iz+4+4i.
Déterminer l'affixe ω du point Ω tel que f(Ω)=Ω
Montrer que, pour tout nombre complexe z on a : z′−4i=i(z−4i).
En déduire la nature et les éléments caractéristiques de f.
On note A et B les points d'affixes respectives a=4−2i et b=−4+6i.
Placer les points A, B et Ω sur une figure que l'on completera au fur et à mesure des questions.
Déterminer les affixes des points A′ et B′ images respectives des points A et B par f.
On appelle m, n, p et q les affixes des points M N, P et Q, milieux respectifs des segments [AA′], [A′B], [BB′] et [B′A].
Déterminer m. On admettra que n=1+7i, p=−3+3i et q=1−i.
Démontrer que MNPQ est un parallélogramme.
Déterminer la forme algëbrique du nombre complexe q−mn−m.
En déduire la nature du quadrilatère MNPQ.
Démontrer que les droites (B′A) et (ΩN) sont perpendiculaires.
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