BAC S COMPLEXE Polynesie_sept 2009

Le plan complexe P est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv, unité graphique : 2~cm.

On appelle $\left(\Gamma \right)$ le cercle de centre O et de rayon 1.

{On fera une figure que l'on complétera tout au long de l'exercice.}

On appelle $F$ l'application du plan $P$ privé du point O dans $P$ qui, à tout point $M$ différent de O,
d'affixe $z$, associe le point $M' = F(M)$ d'affixe $z'$ définie par :
$$z' = z + \text{i} - \dfrac{1}{z}.$$

On considère les points A et B d'affixes respectives $a = \text{i}$ et $b = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$ et leurs images A$'$ et
B$'$ par $F$ d'affixes respectives $a'$ et $b'$.

Calculer $a'$ et $b'$.
Placer les points A, A$'$ B et B$'$.
Démontrer que $\dfrac{-b}{b' - b} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\text{i}$.
En déduire la nature du triangle OBB$'$.

On recherche l'ensemble (E) des points du plan $P$ privé du point O qui ont pour image par $F$, le point O.

Démontrer que, pour tout nombre complexe $z,$
$$z^2 + \text{i}z - 1 = \left(z + \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i}\right)\left(z - \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i}\right).$$
En déduire les affixes des points de l'ensemble (E).
Démontrer que les points de (E) appartiennent à $\left(\Gamma \right)$.

Soit $\theta$ un réel.

Démontrer que si $z = \text{e}^{\text{i}\theta}$ alors $z' = (2 \sin \theta +1)\text{i}$.
En déduire que si $M$ appartient au cercle $\left(\Gamma \right)$ alors $M'$ appartient au segment [A$'$C]
où C a pour affixe $- \text{i}$.