BAC S COMPLEXE NlleCaledo_nov 2009
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique 2~cm. On considère les points A et B d' affixes respectives
zA=1+i√3, zB=2i.
Écrire zA et zB sous forme exponentielle.
Placer les points A et B sur une figure que l'on complètera au cours de l'exercice.
Déterminer la nature du triangle OAB.
On note r la rotation de centre O qui transforme A en B. Pour tout point M d' affixe z, on note M′ l'image de M par r et z′ l'affixe du point M′.
Calculer un argument du quotient zBzA. Interpréter géométriquement ce résultat.
En déduire l'écriture complexe de la rotation r.
Soient Γ le cercle de centre A passant par O et Γ′ le cercle de centre B passant par O.
Soit C le deuxième point d'intersection de Γ et Γ′ (autre que O). On note zC son affixe.
Justifier que le cercle Γ′ est l'image du cercle Γ par la rotation r.
Calculer l'affixe zI du milieu I de [AB].
Déterminer la nature du quadrilatère OACB.
En déduire que I est le milieu de [OC] puis montrer que l'affixe de C est :
zC=1+(2+√3)i.
Soit D le point d'affixe zD=2i√3.
Justifier que le point D appartient au cercle Γ. Placer D sur la figure.
Placer D′ image de D par la rotation r définie à la question 2.
On note zD′ l'affixe de D′.
Montrer que zD′=−√3+3i.
Montrer que les vecteurs →DC et →DD′ sont colinéaires. Que peut-on en déduire ?
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