BAC S COMPLEXE NlleCaledo_nov 2009

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique 2~cm. On considère les points A et B d' affixes respectives

zA=1+i3, zB=2i.

Écrire zA et zB sous forme exponentielle.
Placer les points A et B sur une figure que l'on complètera au cours de l'exercice.
Déterminer la nature du triangle OAB.

On note r la rotation de centre O qui transforme A en B. Pour tout point M d' affixe z, on note M l'image de M par r et z l'affixe du point M.

Calculer un argument du quotient zBzA. Interpréter géométriquement ce résultat.
En déduire l'écriture complexe de la rotation r.

Soient Γ le cercle de centre A passant par O et Γ le cercle de centre B passant par O.

Soit C le deuxième point d'intersection de Γ et Γ (autre que O). On note zC son affixe.

Justifier que le cercle Γ est l'image du cercle Γ par la rotation r.
Calculer l'affixe zI du milieu I de [AB].
Déterminer la nature du quadrilatère OACB.
En déduire que I est le milieu de [OC] puis montrer que l'affixe de C est :
zC=1+(2+3)i.

Soit D le point d'affixe zD=2i3.

Justifier que le point D appartient au cercle Γ. Placer D sur la figure.
Placer D image de D par la rotation r définie à la question 2.

On note zD l'affixe de D.

Montrer que zD=3+3i.

Montrer que les vecteurs DC et DD sont colinéaires. Que peut-on en déduire ?

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