BAC S COMPLEXE AmeriqueNord_juin 2010
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \Ouv{} d'unité graphique 2~cm.
On réalisera une figure que l'on complétera tout au long de l'exercice.
On considère les points A d'affixe i, B d'affixe −2i et D d'affixe 1.
On appelle E le point tel que le triangle ADE soit équilatéral direct.
Soit f l'application qui à tout point M d'affixe z(z≠i) associe le point M′ d'affixe z′ définie par :
z′=2z−iiz+1.
Démontrer que le point E a pour affixe (12+√32)(1+i).
Exprimer sous forme algébrique l'affixe du point D′ associé au point D par l'application f.
Démontrer que, pour tout nombre complexe z différent de i, (z′+2i)(z−i)=1.
En déduire que pour tout point M d'affixe z(z≠i) :
BM′×AM=1et (→u, →BM′)=−(→u, →AM)+k×2π où k est un entier relatif.
Démontrer que les points D et E appartiennent au cercle (C) de centre A et de rayon √2.
En utilisant les résultats de la question 3. b., placer le point E′ associé au point E par l'application f. On laissera apparents les traits de construction.
Quelle est la nature du triangle BD′ E′ ?
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