Solutions des exercices: Série d'exercices sur le Calcul vectoriel, Repères et Barycentres 1e S

Exercice 1

 1) Démontrer que le point $I$ est milieu du segment $[AB]$ si et seulement si : $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec{O}$

Démonstration :

Nous devons démontrer l'équivalence ($\iff$).

Sens direct ($\implies$) : Si $I$ est le milieu de $[AB]$, alors $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec{O}$.

Si $I$ est le milieu du segment $[AB]$, cela signifie que les points $A$, $I$, et $B$ sont alignés et que la distance $IA$ est égale à la distance $IB$.
De plus, les vecteurs $\overrightarrow{IA}$ et $\overrightarrow{IB}$ ont la même longueur ($||\overrightarrow{IA}|| = ||\overrightarrow{IB}||$) mais sont de sens opposés.
Par définition, deux vecteurs de même norme et de sens opposés sont opposés l'un à l'autre :
$$ \overrightarrow{IA} = -\overrightarrow{IB} $$
En ajoutant $\overrightarrow{IB}$ aux deux côtés, on obtient :
$$ \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{O} $$

Sens réciproque ($\impliedby$) : Si $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec{O}$, alors $I$ est le milieu de $[AB]$.

Si $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec{O}$, alors :
$$ \overrightarrow{IA} = -\overrightarrow{IB} $$
$$ \overrightarrow{IA} = \overrightarrow{BI} $$
L'égalité de ces deux vecteurs implique qu'ils ont la même direction (celle de la droite $(AB)$), la même norme ($||\overrightarrow{IA}|| = ||\overrightarrow{BI}||$), et le même sens.
Puisque $\overrightarrow{IA}$ et $\overrightarrow{BI}$ sont égaux, cela signifie que $I$ est le point qui se trouve exactement à mi-chemin entre $A$ et $B$, et que $I$ est aligné avec $A$ et $B$.
Donc, $I$ est le milieu de $[AB]$.

Conclusion : L'équivalence est démontrée.

 2) Avec les mêmes notations qu'au $1^{\circ}$, démontrer que : $\overrightarrow{AI}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\qquad\text{et que}\qquad\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$

Démonstration de $\overrightarrow{AI}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ :

Puisque $I$ est le milieu de $[AB]$, les vecteurs $\overrightarrow{AI}$ et $\overrightarrow{AB}$ ont la même direction et le même sens.
De plus, la longueur $AI$ est la moitié de la longueur $AB$.
Par définition de la multiplication d'un vecteur par un scalaire, on a :
$$ \overrightarrow{AI} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} $$

Démonstration de $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$ (Relation de Chasles) :

Pour tout point $M$ du plan, nous allons utiliser la relation de Chasles en introduisant le point $I$ dans les vecteurs $\overrightarrow{MA}$ et $\overrightarrow{MB}$ :
$$ \overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} $$
$$ \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} $$
En additionnant ces deux expressions :
$$ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = (\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA}) + (\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB}) $$
$$ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MI} + (\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB}) $$
D'après la question 1, puisque $I$ est le milieu de $[AB]$, nous savons que $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{O}$.
$$ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MI} + \vec{O} $$
$$ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MI} $$

 3) Soit $ABC$ un triangle, $E$ le milieu de $[AB]$, $F$ le milieu de $[AC]$. Démontrer que : $\overrightarrow{EF}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}$

Démonstration de $\overrightarrow{EF}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ :

Nous allons utiliser la relation de Chasles en introduisant le point $A$ dans le vecteur $\overrightarrow{EF}$ :
$$ \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{EA} + \overrightarrow{AF} $$
Puisque $E$ est le milieu de $[AB]$, d'après la question 2, nous avons $\overrightarrow{AE} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$. Par conséquent, $\overrightarrow{EA} = -\overrightarrow{AE} = -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.
$$ \overrightarrow{EA} = -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} $$
Puisque $F$ est le milieu de $[AC]$, d'après la question 2, nous avons :
$$ \overrightarrow{AF} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC} $$
En substituant ces expressions dans l'équation de $\overrightarrow{EF}$ :
$$ \overrightarrow{EF} = -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC} $$
Nous factorisons par $\dfrac{1}{2}$ :
$$ \overrightarrow{EF} = \dfrac{1}{2} (\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) $$
En utilisant la relation de Chasles inverse ($\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC}$) :
$$ \overrightarrow{EF} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC} $$

En déduire que :

a) $(EF)\parallel (BC)$

L'égalité $\overrightarrow{EF} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ signifie que le vecteur $\overrightarrow{EF}$ est un multiple scalaire du vecteur $\overrightarrow{BC}$.
Par définition, si deux vecteurs sont colinéaires, alors les droites qui les portent sont parallèles.
Donc, la droite $(EF)$ est parallèle à la droite $(BC)$.

b) $EF=\dfrac{1}{2}BC$

L'égalité vectorielle $\overrightarrow{EF} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ implique l'égalité des normes (longueurs) :
$$ ||\overrightarrow{EF}|| = ||\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}|| $$
$$ ||\overrightarrow{EF}|| = \left|\dfrac{1}{2}\right| \cdot ||\overrightarrow{BC}|| $$
Puisque la norme d'un vecteur est sa longueur, et que $\left|\dfrac{1}{2}\right| = \dfrac{1}{2}$ :
$$ EF = \dfrac{1}{2}BC $$

Ceci est le Théorème de la droite des milieux : la droite joignant les milieux de deux côtés d'un triangle est parallèle au troisième côté et sa longueur est la moitié de la longueur du troisième côté.

 4) Soient $A\;,\ B\;,\ C\text{ et }D$ 4 points, $I$ le milieu de $[AC]$, $J$ le milieu de $[BD]$

Démontrer que $2\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}$

Nous allons utiliser la relation de Chasles pour exprimer $\overrightarrow{IJ}$ en fonction des points $A$ et $C$ (car $I$ est le milieu de $[AC]$) et des points $B$ et $D$ (car $J$ est le milieu de $[BD]$).

En utilisant $A$ et $B$ comme points intermédiaires :
$$ \overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BJ} \quad (1) $$
En utilisant $C$ et $D$ comme points intermédiaires :
$$ \overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DJ} \quad (2) $$
Additionnons les deux expressions (1) et (2) :
$$ 2\overrightarrow{IJ} = (\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IC}) + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} + (\overrightarrow{BJ} + \overrightarrow{DJ}) $$
Puisque $I$ est le milieu de $[AC]$, nous avons $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IC} = \vec{O}$ (d'après la question 1).
Puisque $J$ est le milieu de $[BD]$, nous avons $\overrightarrow{JB} + \overrightarrow{JD} = \vec{O}$, ce qui implique $\overrightarrow{BJ} + \overrightarrow{DJ} = -(\overrightarrow{JB} + \overrightarrow{JD}) = -\vec{O} = \vec{O}$.
En substituant ces résultats dans l'équation :
$$ 2\overrightarrow{IJ} = \vec{O} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} + \vec{O} $$
$$ 2\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} $$

Comment choisir le quadrilatère $ABCD$ pour que $I$ et $J$ soient confondus ?

Si $I$ et $J$ sont confondus, alors le vecteur $\overrightarrow{IJ}$ est le vecteur nul : $\overrightarrow{IJ} = \vec{O}$.
En utilisant le résultat précédent :
$$ 2\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} $$
Si $\overrightarrow{IJ} = \vec{O}$, alors :
$$ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \vec{O} $$
$$ \overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{CD} $$
$$ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} $$
L'égalité $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ signifie que le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme. (Les côtés opposés $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DC}$ sont égaux).
Conclusion : $I$ et $J$ sont confondus si et seulement si $ABCD$ est un parallélogramme.

 5) Déterminer l'ensemble des points $M$ du plan tels que :

Nous allons utiliser le résultat de la question 2 : $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$, où $I$ est le milieu de $[AB]$.

a) $||\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}||=||\overrightarrow{AC}||$

En remplaçant $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}$ par $2\overrightarrow{MI}$ :
$$ ||2\overrightarrow{MI}|| = ||\overrightarrow{AC}|| $$
$$ 2||\overrightarrow{MI}|| = ||\overrightarrow{AC}|| $$
$$ 2MI = AC $$
$$ MI = \dfrac{1}{2}AC $$
L'ensemble des points $M$ est l'ensemble des points dont la distance au point fixe $I$ est égale à la constante $\dfrac{1}{2}AC$.
L'ensemble des points $M$ est le cercle de centre $I$ (milieu de $[AB]$) et de rayon $R = \dfrac{1}{2}AC$.

b) $||\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}||=2MC$

En remplaçant $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}$ par $2\overrightarrow{MI}$ :
$$ ||2\overrightarrow{MI}|| = 2MC $$
$$ 2||\overrightarrow{MI}|| = 2MC $$
$$ MI = MC $$
L'ensemble des points $M$ est l'ensemble des points équidistants des deux points fixes $I$ et $C$.
L'ensemble des points $M$ est la médiatrice du segment $[IC]$.

c) $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}$ a même direction que $\overrightarrow{BC}$

En remplaçant $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}$ par $2\overrightarrow{MI}$ :
$$ 2\overrightarrow{MI} \text{ a même direction que } \overrightarrow{BC} $$
Cela signifie que les vecteurs $2\overrightarrow{MI}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont colinéaires.
Puisque $2$ est un scalaire non nul, cela signifie que $\overrightarrow{MI}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont colinéaires.
Par conséquent, la droite $(MI)$ est parallèle à la droite $(BC)$.
L'ensemble des points $M$ est la droite passant par $I$ (milieu de $[AB]$) et parallèle à la droite $(BC)$.

Exercice 2

Soient $ABCD\text{ et }AECF$ des parallélogrammes. Que peut-on dire des vecteurs $\overrightarrow{BE}\text{ et }\overrightarrow{FD}$ ?

Analyse des parallélogrammes :

1.  $ABCD$ est un parallélogramme, donc les vecteurs opposés sont égaux :
    $$ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \quad \text{et} \quad \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} $$
2.  $AECF$ est un parallélogramme, donc les vecteurs opposés sont égaux :
    $$ \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{FC} \quad \text{et} \quad \overrightarrow{AF} = \overrightarrow{EC} $$

Calcul de $\overrightarrow{BE}$ :

En utilisant la relation de Chasles (en introduisant $A$) :
$$ \overrightarrow{BE} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AE} $$
$$ \overrightarrow{BE} = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AE} $$

Calcul de $\overrightarrow{FD}$ :

En utilisant la relation de Chasles (en introduisant $A$) :
$$ \overrightarrow{FD} = \overrightarrow{FA} + \overrightarrow{AD} $$
Puisque $AECF$ est un parallélogramme, $\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{EC}$, donc $\overrightarrow{FA} = -\overrightarrow{AF} = -\overrightarrow{EC}$.
Cependant, il est plus simple d'utiliser la relation $\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{FC}$, ce qui implique $\overrightarrow{FA} = \overrightarrow{CE}$.
Utilisons plutôt la relation de Chasles en introduisant $C$ :
$$ \overrightarrow{FD} = \overrightarrow{FC} + \overrightarrow{CD} $$
Puisque $AECF$ est un parallélogramme, $\overrightarrow{FC} = \overrightarrow{AE}$.
Puisque $ABCD$ est un parallélogramme, $\overrightarrow{CD} = -\overrightarrow{DC} = -\overrightarrow{AB}$.
En substituant :
$$ \overrightarrow{FD} = \overrightarrow{AE} + (-\overrightarrow{AB}) $$
$$ \overrightarrow{FD} = \overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AB} $$

Comparaison :

Nous avons trouvé :
$$ \overrightarrow{BE} = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AE} $$
$$ \overrightarrow{FD} = \overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AB} $$
Donc :
$$ \overrightarrow{BE} = \overrightarrow{FD} $$

Conclusion : Les vecteurs $\overrightarrow{BE}$ et $\overrightarrow{FD}$ sont égaux. Cela signifie que le quadrilatère $BFDE$ est un parallélogramme.

Exercice 3

Soient $A\;,\ B\;,\ C\text{ et }D$ des points du plan et $I$ et $J$ les milieux respectifs de $[AC]\text{ et }[BD]$.

Démontrer que : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{IJ}$

Démonstration de $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{IJ}$ :

Ceci a été démontré dans l'Exercice 1, question 4.
En utilisant la relation de Chasles et les propriétés des milieux :
$$ 2\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BJ} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DJ} $$
$$ 2\overrightarrow{IJ} = (\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IC}) + (\overrightarrow{BJ} + \overrightarrow{DJ}) + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} $$
Puisque $I$ est milieu de $[AC]$, $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IC} = \vec{O}$.
Puisque $J$ est milieu de $[BD]$, $\overrightarrow{BJ} + \overrightarrow{DJ} = \vec{O}$.
$$ 2\overrightarrow{IJ} = \vec{O} + \vec{O} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} $$
$$ 2\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} \quad (1) $$

Démonstration de $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{IJ}$ :

Nous allons utiliser la relation de Chasles pour exprimer $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{CB}$ en fonction de $I$ et $J$.

1.  Expression de $\overrightarrow{AD}$ :
    $$ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IJ} + \overrightarrow{JD} $$
2.  Expression de $\overrightarrow{CB}$ :
    $$ \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{CI} + \overrightarrow{IJ} + \overrightarrow{JB} $$
Additionnons les deux expressions :
$$ \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB} = (\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{CI}) + 2\overrightarrow{IJ} + (\overrightarrow{JD} + \overrightarrow{JB}) $$
Puisque $I$ est milieu de $[AC]$, $\overrightarrow{AI} = -\overrightarrow{CI}$, donc $\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{CI} = \vec{O}$.
Puisque $J$ est milieu de $[BD]$, $\overrightarrow{JD} = -\overrightarrow{JB}$, donc $\overrightarrow{JD} + \overrightarrow{JB} = \vec{O}$.
$$ \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB} = \vec{O} + 2\overrightarrow{IJ} + \vec{O} $$
$$ \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB} = 2\overrightarrow{IJ} \quad (2) $$

Conclusion : En combinant (1) et (2), nous obtenons :
$$ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{IJ} $$

Exercice 5

Soient $\vec{u}\;,\ \vec{v}\text{ et }\vec{w}$ 3 vecteurs tels que :

$(1)\ \vec{u}+\vec{v}+\vec{w}=\vec{O}\qquad (2)\ ||\vec{v}||=\lambda||\vec{u}||\qquad (3)\ ||\vec{w}||=(\lambda+1)||\vec{u}||$

Démontrer que $\vec{u}\;,\ \vec{v}\;,\ \vec{w}$ sont colinéaires. Exprimer $\vec{v}\text{ et }\vec{w}$ en fonction de $\vec{u}$.

 1) Démontrer que $\vec{u}\;,\ \vec{v}\;,\ \vec{w}$ sont colinéaires.

L'équation (1) peut être réécrite comme :
$$ \vec{w} = -(\vec{u} + \vec{v}) $$
En prenant la norme des deux côtés :
$$ ||\vec{w}|| = ||-(\vec{u} + \vec{v})|| = ||\vec{u} + \vec{v}|| $$
En utilisant l'équation (3) :
$$ ||\vec{u} + \vec{v}|| = (\lambda+1)||\vec{u}|| $$
Nous savons que $\lambda$ est un scalaire, et nous supposons que $\lambda \ge 0$ (sinon la norme serait négative, ce qui est impossible, ou $\lambda$ serait un scalaire complexe, ce qui est hors du cadre habituel).

Nous allons comparer $||\vec{u} + \vec{v}||$ avec $||\vec{u}|| + ||\vec{v}||$.

En utilisant l'équation (2), nous avons :
$$ ||\vec{u}|| + ||\vec{v}|| = ||\vec{u}|| + \lambda||\vec{u}|| = (1+\lambda)||\vec{u}|| $$
Nous avons donc trouvé :
$$ ||\vec{u} + \vec{v}|| = (1+\lambda)||\vec{u}|| $$
Et :
$$ ||\vec{u}|| + ||\vec{v}|| = (1+\lambda)||\vec{u}|| $$
Par conséquent :
$$ ||\vec{u} + \vec{v}|| = ||\vec{u}|| + ||\vec{v}|| $$
L'égalité dans l'inégalité triangulaire ($||\vec{a} + \vec{b}|| \le ||\vec{a}|| + ||\vec{b}||$) est vérifiée si et seulement si les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires et de même sens.
Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires, alors il existe un scalaire $k$ tel que $\vec{v} = k\vec{u}$.
Puisque $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires, et que $\vec{w} = -(\vec{u} + \vec{v})$, alors $\vec{w}$ est aussi colinéaire à $\vec{u}$ et $\vec{v}$.

Conclusion : Les trois vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$, et $\vec{w}$ sont colinéaires.

 2) Exprimer $\vec{v}\text{ et }\vec{w}$ en fonction de $\vec{u}$

Puisque $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires et de même sens, il existe un scalaire $k > 0$ tel que $\vec{v} = k\vec{u}$.

En utilisant l'équation (2) :
$$ ||\vec{v}|| = ||k\vec{u}|| = |k| \cdot ||\vec{u}|| $$
Puisque $k > 0$, $|k| = k$.
$$ ||\vec{v}|| = k||\vec{u}|| $$
L'équation (2) donne aussi :
$$ ||\vec{v}|| = \lambda||\vec{u}|| $$
En comparant les deux expressions, nous obtenons $k = \lambda$.
Donc :
$$ \vec{v} = \lambda\vec{u} $$

Maintenant, exprimons $\vec{w}$ en fonction de $\vec{u}$ en utilisant l'équation (1) :
$$ \vec{w} = -\vec{u} - \vec{v} $$
En substituant $\vec{v} = \lambda\vec{u}$ :
$$ \vec{w} = -\vec{u} - (\lambda\vec{u}) $$
$$ \vec{w} = (-1 - \lambda)\vec{u} $$
$$ \vec{w} = -(\lambda+1)\vec{u} $$

Vérification de la norme de $\vec{w}$ :
$$ ||\vec{w}|| = ||-(\lambda+1)\vec{u}|| = |-(\lambda+1)| \cdot ||\vec{u}|| $$
Puisque $\lambda \ge 0$, $\lambda+1 > 0$, donc $|-(\lambda+1)| = \lambda+1$.
$$ ||\vec{w}|| = (\lambda+1)||\vec{u}|| $$
Ceci correspond à l'équation (3), la solution est donc correcte.

Réponses finales :
$$ \vec{v} = \lambda\vec{u} $$
$$ \vec{w} = -(\lambda+1)\vec{u} $$