BAC S COMPLEXE Asie_juin 2010

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. L'unité graphique est 1~cm. On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

On considère les points A, B, C et P d'affixes respectives :

$$a = - 2,\quad b = 2 - 2\text{i}\sqrt{3},\quad c = 3+3\text{i}\sqrt{3}\quad \text{et} \quad p = 10.$$

\textbf{PARTIE A Étude de la configuration}

Construction de la figure.

Placer les points A et P dans le repère \Ouv.
Déterminer les modules des nombres complexes $b$ et $c$.
Utiliser les cercles de centre O et de rayons respectifs 4 et 6 pour construire les points B et C.

Démontrer que le triangle BCP est équilatéral.
On note $r_{\text{A}}$ la rotation de centre A et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$.

Vérifier que l'image Q du point C par $r_{\text{A}}$ a pour affixe : $q = -4 + 4\text{i}\sqrt{3}$.
Vérifier l'égalité : $q = -2b$. Que peut-on en déduire pour les points B, O et Q ?

Soit R le symétrique de C par rapport à O.

Démontrer que les droites (AP), (BQ) et (CR) sont concourantes en O.
Établir que: AP = BQ = CR.

\textbf{PARTIE B}

On note $f$ l'application qui, à tout point $M$ du plan, associe le réel $f(M)$ défini par :

$$f(M) = M\text{A} + M\text{B} + M\text{C}.$$

Calculer $f(\text{O})$.
Soient $M$ un point quelconque et $N$ son image par la rotation $r_{\text{A}}$.

Démontrer que : $M\text{A} = MN$ puis que $M\text{C} = N\text{Q}$.
{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiatives, même infructueuses, sera prise en compte dans l'évaluation.}

En utilisant l'inégalité triangulaire, démontrer que pour tout point $M$ du plan,

$f(M) \geqslant 12$.