Corrigé Devoir n° 7 Maths - 3e

Exercice 1

1. Complétion des phrases

a. La racine carrée du produit de x par y s’écrit xy et est égale au produit de la racine carrée de x par la racine carrée de y.

b. La racine carrée du carré de x s’écrit  x2 et est égale à x (car x>0).

c. x+y est une expression conjuguée de xy.

d. Le carré du réel xy s’écrit (xy)2 et est égal à x2y.

 2.

 3. On donne a=152

a) Déterminons l’inverse de a, soit b=1a=215
On rationalise :

b=2(1+5)(15)(1+5)=2(1+5)15=2(1+5)4=1+52

Donc,

b=1+52

Calcul de a2 :

a2=(152)2=(15)24=125+54=6254=352

a2=352

Exercice 2

 1. Rendre rationnel le dénominateur de :

a=13+22multiplions num. et dén. par 322

a=1(322)(3+22)(322)=3+2298=3+22

Donc,

a=3+22

Calcul de a2 :

a2=(3+22)2=9122+8=17122

a2=17122

 2. On donne :

b=528+450332+137249

Simplifions chaque racine :

 8=225222=52
 50=252=52452=202
 32=162=42342=122
 72=362=621362=22
 49=7

Total :

b=52+202122+227=(52)7

b=7+52

 3. On donne :

c=(12)17122

Or, on a vu que a2=17122 et a=3+22, donc :

17122=3+22

Donc :

c=(12)(3+22)=3+22+3222=3+524=7+52

c=752

 4. Montrons que b et c sont opposés :

 b=7+52
 c=752

Donc b=c
 Ce sont bien des opposés.

 5. Encadrer c=752 avec 1.414<2<1.415

Calculons les bornes :

 51.414=7.07c>77.07=0.07
 51.415=7.075c<77.075=0.075

Donc :

0.075<c<0.07

Exercice 3

 Partie A

1. Théorème de Thalès dans un trapèze :

  •  Si deux droites sécantes sont coupées par des droites parallèles, alors les longueurs des segments correspondants sont proportionnelles.

2. Si HIEG, alors :

HEHF=EIFG

3. Si EFG est un triangle rectangle en E, alors selon Pythagore :

GF2=EG2+EF2(Réponse 2)

4. Si RTRS=RFRI, alors :

les droites (TF) et (SI) sont parallèles(Réponse 2)

Partie B

1. Triangle ABH rectangle en H, avec :

 AB=7.5 cm, BH=4.5 cm

Par Pythagore :

AH2=AB2BH2=56.2520.25=36AH=36=6 cm

 AH=6cm

2. Sur [BH), on place :

 HM=9cmBH+HM=13.5cm
 BN=1.5cmNH=3cm

La parallèle à AH passant par N coupe AB en P

Par Thalès :

NPAH=BNBH=1.54.5=13NP=13AH=136=2cm

Donc :

BP=ABAP=AB(AHNP)=7.5(62)=3.5cm

 NP=2cm;BP=3.5cm

3. BR=4.5cm, BS=2.5cm

On utilise Thalès à l'envers :

BRBS=AMASSi les rapports sont égaux, alors (RS)(AM)

Si AM = 6, AS = 10.8, alors :

BRBS=4.52.5=1.8;AMAS=610.8=591.8

Donc pour obtenir le parallélisme, on doit placer les points de manière à ce que ces rapports soient égaux. S’ils le sont :

 Les droites (RS) et (AM) sont parallèles.

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