Corrigé Devoir n° 7 Maths - 3e
Exercice 1
1. Complétion des phrases
a. La racine carrée du produit de x par y s’écrit √xy et est égale au produit de la racine carrée de x par la racine carrée de y.
b. La racine carrée du carré de x s’écrit √x2 et est égale à x (car x>0).
c. −√x+√y est une expression conjuguée de −√x−√y.
d. Le carré du réel x√y s’écrit (x√y)2 et est égal à x2y.
2.
3. On donne a=1−√52
a) Déterminons l’inverse de a, soit b=1a=21−√5
On rationalise :
b=2(1+√5)(1−√5)(1+√5)=2(1+√5)1−5=2(1+√5)−4=−1+√52
Donc,
b=−1+√52
Calcul de a2 :
a2=(1−√52)2=(1−√5)24=1−2√5+54=6−2√54=3−√52
a2=3−√52
Exercice 2
1. Rendre rationnel le dénominateur de :
a=−13+2√2multiplions num. et dén. par 3−2√2
a=−1(3−2√2)(3+2√2)(3−2√2)=−3+2√29−8=−3+2√2
Donc,
a=−3+2√2
Calcul de a2 :
a2=(−3+2√2)2=9−12√2+8=17−12√2
a2=17−12√2
2. On donne :
b=−52√8+4√50−3√32+13√72−√49
Simplifions chaque racine :
√8=2√2⇒−52⋅2√2=−5√2
√50=√25⋅2=5√2⇒4⋅5√2=20√2
√32=√16⋅2=4√2⇒−3⋅4√2=−12√2
√72=√36⋅2=6√2⇒13⋅6√2=2√2
√49=7
Total :
b=−5√2+20√2−12√2+2√2−7=(5√2)−7
b=−7+5√2
3. On donne :
c=(1−√2)√17−12√2
Or, on a vu que a2=17−12√2 et a=−3+2√2, donc :
√17−12√2=−3+2√2
Donc :
c=(1−√2)(−3+2√2)=−3+2√2+3√2−2⋅2=−3+5√2−4=−7+5√2
c=7−5√2
4. Montrons que b et c sont opposés :
b=−7+5√2
c=7−5√2
Donc b=−c
Ce sont bien des opposés.
5. Encadrer c=7−5√2 avec 1.414<√2<1.415
Calculons les bornes :
5⋅1.414=7.07⇒c>7−7.07=−0.07
5⋅1.415=7.075⇒c<7−7.075=−0.075
Donc :
−0.075<c<−0.07
Exercice 3
Partie A
1. Théorème de Thalès dans un trapèze :
- Si deux droites sécantes sont coupées par des droites parallèles, alors les longueurs des segments correspondants sont proportionnelles.
2. Si HI∥EG, alors :
HEHF=EIFG
3. Si EFG est un triangle rectangle en E, alors selon Pythagore :
GF2=EG2+EF2(Réponse 2)
4. Si RTRS=RFRI, alors :
les droites (TF) et (SI) sont parallèles(Réponse 2)
Partie B
1. Triangle ABH rectangle en H, avec :
AB=7.5 cm, BH=4.5 cm
Par Pythagore :
AH2=AB2−BH2=56.25−20.25=36⇒AH=√36=6 cm
AH=6cm
2. Sur [BH), on place :
HM=9cm⇒BH+HM=13.5cm
BN=1.5cm⇒NH=3cm
La parallèle à AH passant par N coupe AB en P
Par Thalès :
NPAH=BNBH=1.54.5=13⇒NP=13⋅AH=13⋅6=2cm
Donc :
BP=AB−AP=AB−(AH−NP)=7.5−(6−2)=3.5cm
NP=2cm;BP=3.5cm
3. BR=4.5cm, BS=2.5cm
On utilise Thalès à l'envers :
BRBS=AMAS⇒Si les rapports sont égaux, alors (RS)∥(AM)
Si AM = 6, AS = 10.8, alors :
BRBS=4.52.5=1.8;AMAS=610.8=59≠1.8
Donc pour obtenir le parallélisme, on doit placer les points de manière à ce que ces rapports soient égaux. S’ils le sont :
Les droites (RS) et (AM) sont parallèles.
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