Corrigé Devoir n° 5 maths - 3e

Exercice 1

On donne :
$A(-2\;;\ -2),\ B(-4\;;\ 4),\ C(2\;;\ 6),\ D(4\;;\ 0)$

 1) Coordonnées de $E$ (milieu de $[AC]$) et $F$ (milieu de $[BD]$) :

Formule du milieu :
Si $M$ est le milieu de $[XY]$, alors $M\left( \dfrac{x_X+x_Y}{2}, \dfrac{y_X+y_Y}{2} \right)$

 $E = \left( \dfrac{-2+2}{2}, \dfrac{-2+6}{2} \right) = (0 ; 2)$
 $F = \left( \dfrac{-4+4}{2}, \dfrac{4+0}{2} \right) = (0 ; 2)$

 Donc $E = F$

 2) Démontrer que $AC = BD$

 Longueur $AC = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (6 - (-2))^2} = \sqrt{4^2 + 8^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80}$
 Longueur $BD = \sqrt{(4 - (-4))^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{8^2 + (-4)^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80}$

 Donc $AC = BD$

 3) Montrer que $\overrightarrow{AC} \perp \overrightarrow{BD}$

 $\overrightarrow{AC} = (2 - (-2), 6 - (-2)) = (4 ; 8)$
 $\overrightarrow{BD} = (4 - (-4), 0 - 4) = (8 ; -4)$

Produit scalaire :
$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = 4 \times 8 + 8 \times (-4) = 32 - 32 = 0$

 Ils sont orthogonaux

 4) Nature du quadrilatère $ABCD$

 Les diagonales ont même longueur et se coupent en leur milieu (car $E = F$)
 Elles sont perpendiculaires

 Donc $ABCD$ est un losange

 5) Équation de la droite $(BE)$

 Coordonnées de $B(-4 ; 4),\ E(0 ; 2)$
 Pente $m = \dfrac{2 - 4}{0 - (-4)} = \dfrac{-2}{4} = -\dfrac{1}{2}$

Équation de la droite passant par $B$ :
$y - 4 = -\dfrac{1}{2}(x + 4)$

On développe :

$$y = -\dfrac{1}{2}x - 2 + 4 = -\dfrac{1}{2}x + 2$$

 Équation : $\boxed{y = -\dfrac{1}{2}x + 2}$

 Exercice 2

 1) Calcul de $A$ :

$$A = \dfrac{3}{5} - \dfrac{1}{5} \left( 2 + \dfrac{5}{2} \right) = \dfrac{3}{5} - \dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{9}{2} = \dfrac{3}{5} - \dfrac{9}{10} = \dfrac{6}{10} - \dfrac{9}{10} = -\dfrac{3}{10}$$

 $\boxed{A = -\dfrac{3}{10}}$

 2) Simplifier $B$ :

$$B = \sqrt{63} - 2\sqrt{28} + \sqrt{700} = \sqrt{9 \cdot 7} - 2\sqrt{4 \cdot 7} + \sqrt{100 \cdot 7} = 3\sqrt{7} - 2 \cdot 2\sqrt{7} + 10\sqrt{7} = 3\sqrt{7} - 4\sqrt{7} + 10\sqrt{7} = 9\sqrt{7}$$

 $\boxed{B = 9\sqrt{7}}$

 3) Calcul de $C$

$$C = \dfrac{(2 \cdot 10^{-2})^3 \cdot 3 \cdot 10^{-5}}{(2 \cdot 0.5)^2 \cdot 10^{-6}} = \dfrac{(8 \cdot 10^{-6}) \cdot 3 \cdot 10^{-5}}{(1)^2 \cdot 10^{-6}} = \dfrac{24 \cdot 10^{-11}}{10^{-6}} = 24 \cdot 10^{-5} = 2.4 \cdot 10^{-4}$$

 $\boxed{C = 2.4 \cdot 10^{-4}}$

 Exercice 3

 1.a) Développement de $D$ et $E$

 $D = (4x - 1)^2 - (x + 3)^2 = 16x^2 - 8x + 1 - (x^2 + 6x + 9) = 15x^2 -14x -8$

 $E = 25x^2 - 4 - (5x + 2)(4x - 7)$

Développons :

$$(5x+2)(4x-7) = 20x^2 - 35x + 8x -14 = 20x^2 - 27x - 14$$

$$E = 25x^2 - 4 - (20x^2 - 27x - 14) = 25x^2 - 4 - 20x^2 + 27x + 14 = 5x^2 + 27x + 10$$

 $\boxed{D = 15x^2 -14x -8}$
 $\boxed{E = 5x^2 + 27x + 10}$

 1.b) Calculer $D$ pour $x = \dfrac{1}{2}$

$$D = 15 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 - 14 \cdot \dfrac{1}{2} - 8 = \dfrac{15}{4} - 7 - 8 = \dfrac{15 - 60 - 64}{4} = \dfrac{-109}{4}$$

 $\boxed{D = -\dfrac{109}{4}}$

 2.a) Factorisation

 $D = 15x^2 -14x -8$

On cherche deux nombres dont le produit est $15 \times (-8) = -120$ et la somme = -14 → $(6, -20)$

$$D = 15x^2 + 6x - 20x - 8 = 3x(5x + 2) -4(5x + 2) = (3x - 4)(5x + 2)$$

 $E = 5x^2 + 27x + 10$

On cherche deux nombres dont le produit = 50 et la somme = 27 → $(25, 2)$

$$E = 5x^2 + 25x + 2x + 10 = 5x(x + 5) + 2(x + 5) = (5x + 2)(x + 5)$$

 $\boxed{D = (3x - 4)(5x + 2)}$
 $\boxed{E = (5x + 2)(x + 5)}$

 2.b) Résoudre $(-2 - 5x)(4 - 3x) = 0$

$$-2 - 5x = 0 \Rightarrow x = -\dfrac{2}{5},\quad 4 - 3x = 0 \Rightarrow x = \dfrac{4}{3}$$

 $\boxed{x = -\dfrac{2}{5} \quad \text{ou} \quad x = \dfrac{4}{3}}$

 3.a) Conditions d'existence de $G = \dfrac{(5x+2)(x+5)}{(-2-5x)(4-3x)}$

Le dénominateur ne doit pas être nul, donc :

$$-2 - 5x \neq 0 \Rightarrow x \neq -\dfrac{2}{5},\quad 4 - 3x \neq 0 \Rightarrow x \neq \dfrac{4}{3}$$

 $\boxed{x \neq -\dfrac{2}{5}\ \text{et}\ x \neq \dfrac{4}{3}}$

 3.b) Simplifier $G$

Numerateur : $(5x+2)(x+5)$
Dénominateur : $(-2 - 5x)(4 - 3x) = -(5x + 2)(4 - 3x)$

Donc :

$$G = \dfrac{(5x + 2)(x + 5)}{-(5x + 2)(4 - 3x)} = \dfrac{x + 5}{-(4 - 3x)} = \dfrac{x + 5}{3x - 4}$$

 $\boxed{G = \dfrac{x + 5}{3x - 4}}$

Exercice 4

 1) Méthode de substitution :

Système :

$$\begin{cases} 2x - 5y + 3 = 0 \quad (1)\\ x - y - 1 = 0 \quad (2) \end{cases} \Rightarrow x = y + 1$$

On remplace dans (1) :

$$2(y+1) - 5y + 3 = 0 \Rightarrow 2y + 2 - 5y + 3 = 0 \Rightarrow -3y + 5 = 0 \Rightarrow y = \dfrac{5}{3}$$

$$x = y + 1 = \dfrac{5}{3} + 1 = \dfrac{8}{3}$$

 $\boxed{(x, y) = \left(\dfrac{8}{3},\ \dfrac{5}{3}\right)}$

 2) Méthode de combinaison

Système :

$$\begin{cases} 5x + 3y = 7 \quad (1)\\ 3x - 7y = -8 \quad (2) \end{cases}$$

On multiplie (1) par 3 et (2) par 5 pour aligner les $x$ :

 $15x + 9y = 21$
 $15x - 35y = -40$

On soustrait :

$$(15x + 9y) - (15x - 35y) = 21 - (-40) \Rightarrow 44y = 61 \Rightarrow y = \dfrac{61}{44}$$

On remplace dans (1) :

$$5x + 3 \cdot \dfrac{61}{44} = 7 \Rightarrow 5x = 7 - \dfrac{183}{44} = \dfrac{308 - 183}{44} = \dfrac{125}{44} \Rightarrow x = \dfrac{25}{44}$$

 $\boxed{(x, y) = \left(\dfrac{25}{44},\ \dfrac{61}{44}\right)}$