EXAMEN BLANC DU BAC,SESSION DE MARS 2015
Contexte:Préparatifs d'une fête
Le vieux Fagla est un devin du Fa.
Dans le cadre de la célébration de la fête des religions traditionnelles Vodouns days,il décide de réfectionner son temple son temple afin de donner un cachet spécial à la fête.
Pour cela,il sollicite l'aide de son fils Oldo éléve en classa de terminale D pour les préparatifs.
Vue les exigences de son père,Oldo doit faire usage de ses connaissances mathématique.
Il considère un sommet O de la paillote servant de temple et munit l'espace d'un repère orthonormé direct (O,→i,→j,→k).
Pour la résistance de la paillote il dit disposer des supports reliant des points A(1;−2;−1);B(3;−4;−5);(1;1;2) et D(0;1;0).
Une plaque servant de plafond sera placée dans un plan (P) perpendiculaire à la droite (AB).
Des lampes sont placées dans ce plan en des points stratégiques.
Le support de la poutre principale de la paillote est dans l'ensemble Δ des points M de l'espace tels que :
(2→MA+→MB−→MC)Λ→MA=2→MGΛ→MD ou G est le barycentre des points pondérés (A;2);(B;1) et (C;−1).
Une tige, assimilées à un segment dont le support est une droite (Δ′) perpendiculaire au plan du plafond,relie le point C à un point N du plafond ou doit être placé un placé un projecteur pour les rituels nocturnes.
Dans la salle de spectacle de décoration du mur doit être faite à l'aide de la courbe représentative d'une fonction judicieusement choisie.Le chemin qui mène au site qui abritera les manifestations est assimilé à une portion de la courbe représentative (Γ) d'une fonction numérique f.
Tache:Tu vas aider Oldo à répondre aux préoccupations de son père en résolvant les problèmes suivants:
Problème 1
1-a)Vérifie que les points A,B,C et D sont non coplanaires et calcule le volume du tétraèdre ABCD.
b)Détermine une équation cartésienne du plan (P) du plafond qu'il passe par le milieu de [AB].
2-a)Détermine une représentation paramétrique de la droite (Δ′).
b)Détermine (Δ′)∩(P) puis précise les coordonnées du point N ou doit être placé le projecteur.
c)Calcule la distance d du point C au plafond.
3-a)Détermine les coordonnées de G dans le repère (O,→i,→j,→k)
b)Démontre que (Δ) est une droite dont tu préciseras un système d'équations cartésiennes.
c)Étudie la la position relative des droites (Δ) et (Δ′).
Problème 2
A l'intérieur du temple,Oldo veut aménager un espace délimité par un cercle (C) passant par trois points E,F et G pour les consultations.
Dans le plan complexe rapporté à un repère (O;→u;→v),les contraintes du ré-aménagement sont telles que les points E,F et G sont les images des solutions de l'équation:
(E0):z3+(2+4i)Z2+(4+9i)z+6(6+i)=0.
Pour la décoration,Oldo utilise la représentation graphique d'une fonction φ solution de l'équation différentielle
(E1)=y″+2y′+y=−2e−x+1 telle que φ(0)=φ′(0)=0.
4-a)Calcule (4−6i)2.
b)Démontre que l'équation (E0) admet une solution imaginaire pure z0 que tu préciseras.
c)R&sous dans C l'équation (E0).
5-a)Démontre que EFG est un triangle rectangle.
b)Détermine une équation cartésienne du cercle (C).
6-a)Justifie que la fonction u⟷1−x2e−x est solution de (E1).
b)Résous l'équation différentielle (E2):y″+2y′+y=0
7-a)Démontre qu'une fonction de (E1) si et seulement si (v−u) est solution de (E2).
b)Déduis-en les solutions de (E1) puis détermine la fonction dont la courbe servira à la décoration.
Problème 3
La fonction f est définie de B vers B par
Oldo veut représenter (Γ) dans un repère orthonormé R=(O;→i;→j) d'unité 1,5cm,
8-a)Étudie la dérivabilité de f en 0.
b)Étudie la dérivabilité de f en 0 puis interprète les résultats obtenus.
9-a)Calcule les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.
b)Étudie les variations de f.
10-Étudie les branches infinies de f puis construis (Γ) dans le repère R.
11-Calcule l'aire du domaine du plan délimité par la courbe (Γ) l'axe des abscisses et les droites d'équations x=1 et x=e.
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