Correction Exercices d'entrainement types Bac : Suite Numériques - TL

Exercice 1

1. Expression de \( P_{n+1} \) en fonction de \( P_n \) et nature de la suite :

Le prix augmente de 7% par an, donc :
\[ P_{n+1} = P_n + 0.07 \times P_n = 1.07 \times P_n \]

La suite \( (P_n) \) est donc une suite géométrique de raison \( q = 1.07 \) et de premier terme \( P_0 = 75 \).

2. Prix en 1972 et 1980 :

a. 1972 correspond à \( n = 2 \) :
\[ P_2 = P_0 \times (1.07)^2 = 75 \times 1.1449 = 85.8675 \text{ F} \]

b. 1980 correspond à \( n = 10 \) :
\[ P_{10} = P_0 \times (1.07)^{10} \]

Calcul de \( (1.07)^{10} \) :
\[ (1.07)^5 \approx 1.40255 \]
\[ (1.07)^{10} \approx (1.40255)^2 \approx 1.967 \]
\[ P_{10} \approx 75 \times 1.967 \approx 147.525 \text{ F} \]

3. Année où le prix dépasse 750 F :

On cherche \( n \) tel que :
\[ P_n > 750 \]
\[ 75 \times (1.07)^n > 750 \]
\[ (1.07)^n > 10 \]

En prenant le logarithme :
\[ n \ln(1.07) > \ln(10) \]
\[ n > \frac{\ln(10)}{\ln(1.07)} \approx \frac{2.302585}{0.067659} \approx 34.03 \]

Donc \( n = 35 \), ce qui correspond à l'année \( 1970 + 35 = 2005 \).

Exercice 2

A. Suite \( (U_n) \) définie par \( U_n = 1.05 U_{n-1} + 1000 \) :

1. Démontrer que \( (V_n) \) est géométrique :

On a \( V_n = U_n + 20000 \).

Calculons \( V_{n+1} \) :
\[ U_{n+1} = 1.05 U_n + 1000 \]
\[ V_{n+1} = U_{n+1} + 20000 = 1.05 U_n + 1000 + 20000 = 1.05 U_n + 21000 \]
\[ = 1.05 (U_n + 20000) = 1.05 V_n \]

Donc \( (V_n) \) est géométrique de raison \( q = 1.05 \).

2. Expression de \( V_n \) et \( U_n \) :

\[ V_n = V_0 \times (1.05)^n = (U_0 + 20000) \times (1.05)^n \]
\[ U_n = V_n - 20000 = (U_0 + 20000) \times (1.05)^n - 20000 \]

B. Application à la population électorale :

1. Population en février 2000 (n=5) :

Initialement \( U_0 = 20000 \).

\[ U_5 = (20000 + 20000) \times (1.05)^5 - 20000 \]
\[ = 40000 \times 1.27628 - 20000 \approx 51051.2 - 20000 = 31051.2 \]

La population est donc environ 31051 électeurs.

2. Nombre de votants avec 20% d'abstention :

80% des électeurs votent :
\[ 0.8 \times 31051 \approx 24841 \text{ votants} \]

Exercice 3

1. Calcul de \( U_1, U_2, U_3 \) :

\[ U_0 = 9 \]
\[ U_1 = \frac{1}{3} \times 9 + 2 = 3 + 2 = 5 \]
\[ U_2 = \frac{1}{3} \times 5 + 2 \approx 1.666 + 2 = 3.666 \]
\[ U_3 = \frac{1}{3} \times 3.666 + 2 \approx 1.222 + 2 = 3.222 \]

2. Suite \( V_n = U_n - 3 \) :

Montrons que \( (V_n) \) est géométrique :
\[ V_{n+1} = U_{n+1} - 3 = \frac{1}{3} U_n + 2 - 3 = \frac{1}{3} U_n - 1 \]
\[ = \frac{1}{3} (V_n + 3) - 1 = \frac{1}{3} V_n + 1 - 1 = \frac{1}{3} V_n \]

Donc \( (V_n) \) est géométrique de raison \( q = \frac{1}{3} \) et de premier terme \( V_0 = U_0 - 3 = 6 \).

3. Expression de \( V_n \) et \( U_n \) :

\[ V_n = 6 \times \left( \frac{1}{3} \right)^n \]
\[ U_n = V_n + 3 = 6 \times \left( \frac{1}{3} \right)^n + 3 \]

4. Somme \( S_n \) des \( V_n \) :

\[ S_n = V_0 + V_1 + \ldots + V_{n-1} = 6 \times \frac{1 - \left( \frac{1}{3} \right)^n}{1 - \frac{1}{3}} = 6 \times \frac{3}{2} \left(1 - \left( \frac{1}{3} \right)^n \right) = 9 \left(1 - \left( \frac{1}{3} \right)^n \right) \]

5. Somme \( S'_n \) des \( U_n \) :

\[ S'_n = S_n + 3n = 9 \left(1 - \left( \frac{1}{3} \right)^n \right) + 3n \]

Exercice 4

1. Relation de récurrence et nature de la suite :

Si le concurrent gagne, son gain double :
\[ U_{n+1} = 2 U_n \]

La suite \( (U_n) \) est géométrique de raison 2 et de premier terme \( U_1 = 25000 \).

2. Expression de \( U_n \) et calcul de \( U_7 \) :

\[ U_n = 25000 \times 2^{n-1} \]
\[ U_7 = 25000 \times 2^6 = 25000 \times 64 = 1600000 \text{ F} \]

3. Nombre de victoires pour atteindre 12 800 000 F :

\[ 25000 \times 2^{n-1} = 12800000 \]
\[ 2^{n-1} = \frac{12800000}{25000} = 512 \]
\[ 2^{n-1} = 2^9 \]
\[ n-1 = 9 \]
\[ n = 10 \]

Exercice 5

1. Entreprise A :

a. Relation de récurrence et expression de \( P_n \) :

Chaque mètre coûte 5000 F de plus que le précédent :
\[ P_{n+1} = P_n + 5000 \]

C'est une suite arithmétique de premier terme \( P_1 = 50000 \) et de raison \( r = 5000 \).

\[ P_n = 50000 + (n-1) \times 5000 = 5000 n + 45000 \]

b. Somme \( S_n \) :

\[ S_n = \frac{n}{2} (P_1 + P_n) = \frac{n}{2} (50000 + 5000 n + 45000) = \frac{n}{2} (5000 n + 95000) = 2500 n^2 + 47500 n \]

c. Profondeur pour 1 665 000 F :

\[ 2500 n^2 + 47500 n = 1665000 \]
\[ 25 n^2 + 475 n - 16650 = 0 \]
\[ n^2 + 19 n - 666 = 0 \]

Discriminant :
\[ \Delta = 361 + 2664 = 3025 = 55^2 \]
\[ n = \frac{-19 \pm 55}{2} \]
Solution positive :
\[ n = \frac{36}{2} = 18 \]

2. Entreprise B :

a. Coût \( C_n \) :

Le coût suit une suite géométrique de premier terme \( C_1 = 10000 \) et de raison \( q = 1.2 \).

\[ C_n = 10000 \times (1.2)^{n-1} \]

b. Comparaison pour \( n = 18 \) :

- Entreprise A : \( S_{18} = 1 665 000 \) F.
- Entreprise B : \( S_{18} = 10000 \times \frac{1.2^{18} - 1}{1.2 - 1} \).

Calcul de \( 1.2^{18} \) :
\[ 1.2^5 = 2.48832 \]
\[ 1.2^{10} \approx 6.1917 \]
\[ 1.2^{15} \approx 15.407 \]
\[ 1.2^{18} \approx 26.623 \]

\[ S_{18} \approx 10000 \times \frac{26.623 - 1}{0.2} = 10000 \times 127.115 = 1 271 150 \text{ F} \]

Donc l'entreprise B est moins chère.

Exercice 6

1. Relation de récurrence et nature de la suite :

La population diminue de 5% par an :
\[ P_{n+1} = P_n - 0.05 P_n = 0.95 P_n \]

La suite \( (P_n) \) est géométrique de raison \( q = 0.95 \).

2. Expression de \( P_n \) :

\[ P_n = P_0 \times (0.95)^n \]

3. Année où \( P_n < \frac{P_0}{2} \) :

\[ (0.95)^n < 0.5 \]
\[ n \ln(0.95) < \ln(0.5) \]
\[ n > \frac{\ln(0.5)}{\ln(0.95)} \approx \frac{-0.693}{-0.051} \approx 13.588 \]

Donc \( n = 14 \), ce qui correspond à l'année \( 1989 + 14 = 2003 \).

Exercice 7

1. Surface infestée :

a. Calcul de \( U_1 \) et \( U_2 \) :

Diminution de 8% par jour :
\[ U_{n+1} = 0.92 U_n \]
\[ U_1 = 0.92 \times 2000 = 1840 \text{ ha} \]
\[ U_2 = 0.92 \times 1840 = 1692.8 \text{ ha} \]

b. Expression de \( U_n \) :

\[ U_n = 2000 \times (0.92)^n \]

c. Nombre de jours pour traiter la moitié :

\[ 2000 \times (0.92)^n = 1000 \]
\[ (0.92)^n = 0.5 \]
\[ n \ln(0.92) = \ln(0.5) \]
\[ n \approx \frac{-0.693}{-0.0834} \approx 8.31 \]

Donc \( n = 9 \) jours.

2. Pesticide :

a. Calcul de \( P_2 \) et \( P_3 \) :

Chaque jour, on ajoute 400 litres de plus que le jour précédent :
\[ P_{n+1} = P_n + 400 \]

Suite arithmétique de premier terme \( P_1 = 1000 \) et de raison \( r = 400 \).

\[ P_2 = 1000 + 400 = 1400 \text{ L} \]
\[ P_3 = 1400 + 400 = 1800 \text{ L} \]

b. Expression de \( P_n \) :

\[ P_n = 1000 + (n-1) \times 400 = 400 n + 600 \]

c. Quantité totale après 20 jours :

\[ S_{20} = \frac{20}{2} (P_1 + P_{20}) = 10 (1000 + 400 \times 20 + 600) = 10 (1000 + 8000 + 600) = 10 \times 9600 = 96000 \text{ L} \]

Coût :
\[ 96000 \times 1800 = 172 800 000 \text{ F} \]

Réponses :
1. a. \( U_1 = 1840 \) ha, \( U_2 = 1692.8 \) ha.
   b. \( U_n = 2000 \times (0.92)^n \).
   c. 9 jours.
2. a. \( P_2 = 1400 \) L, \( P_3 = 1800 \) L.
   b. \( P_n = 400 n + 600 \).
   c. 96 000 L, coût 172 800 000 F.

Exercice 8

1. Production en 2001 et 2002 :

Baisse de 3% par an :
\[ P_{n+1} = 0.97 P_n \]

\[ P_0 = 1 200 000 \]
\[ P_1 = 0.97 \times 1 200 000 = 1 164 000 \text{ tonnes} \]
\[ P_2 = 0.97 \times 1 164 000 \approx 1 129 080 \text{ tonnes} \]

2. Relation de récurrence :

\[ P_{n+1} = 0.97 P_n \]

3. Nature de la suite :

La suite \( (P_n) \) est géométrique de raison \( q = 0.97 \) et de premier terme \( P_0 = 1 200 000 \).

4. Expression de \( P_n \) :

\[ P_n = 1 200 000 \times (0.97)^n \]

5. Année où \( P_n < 600 000 \) :

\[ (0.97)^n < 0.5 \]
\[ n \ln(0.97) < \ln(0.5) \]
\[ n > \frac{\ln(0.5)}{\ln(0.97)} \approx \frac{-0.693}{-0.030459} \approx 22.76 \]

Donc \( n = 23 \), ce qui correspond à l'année \( 2000 + 23 = 2023 \).

 Exercice 9

1. Calcul de \( U_2 \) et \( U_3 \) :

\[ U_1 = -2 \]
\[ U_2 = 3 \times (-2) + 3 = -6 + 3 = -3 \]
\[ U_3 = 3 \times (-3) + 3 = -9 + 3 = -6 \]

2. Suite \( V_n = U_n + \frac{3}{2} \) :

a. Calcul de \( V_1 \) et \( V_2 \) :

\[ V_1 = -2 + \frac{3}{2} = -0.5 \]
\[ V_2 = -3 + \frac{3}{2} = -1.5 \]

b. Montrer que \( (V_n) \) est géométrique :

\[ V_{n+1} = U_{n+1} + \frac{3}{2} = 3 U_n + 3 + \frac{3}{2} = 3 U_n + \frac{9}{2} \]
\[ = 3 \left( U_n + \frac{3}{2} \right) = 3 V_n \]

Donc \( (V_n) \) est géométrique de raison \( q = 3 \) et de premier terme \( V_1 = -0.5 \).

c. Expression de \( V_n \) et \( U_n \) :

\[ V_n = -0.5 \times 3^{n-1} \]
\[ U_n = V_n - \frac{3}{2} = -0.5 \times 3^{n-1} - 1.5 \]

d. Divergence :

\( 3^{n-1} \) tend vers \( +\infty \) quand \( n \to +\infty \), donc \( V_n \to -\infty \) et \( U_n \to -\infty \).

Exercice 10

1. Calcul de \( U_2 \) et \( U_3 \) :

\[ U_0 = -2 \]
\[ U_1 = \frac{3}{2} \times (-2) + 1 = -3 + 1 = -2 \]
\[ U_2 = \frac{3}{2} \times (-2) + 1 = -3 + 1 = -2 \]
\[ U_3 = \frac{3}{2} \times (-2) + 1 = -3 + 1 = -2 \]

2. Suite \( V_n = U_n + 2 \) :

a. Calcul de \( V_0 \) et \( V_1 \) :

\[ V_0 = -2 + 2 = 0 \]
\[ V_1 = -2 + 2 = 0 \]

b. Montrer que \( (V_n) \) est géométrique :

\[ V_{n+1} = U_{n+1} + 2 = \frac{3}{2} U_n + 1 + 2 = \frac{3}{2} U_n + 3 \]
\[ = \frac{3}{2} (U_n + 2) = \frac{3}{2} V_n \]

Donc \( (V_n) \) est géométrique de raison \( q = \frac{3}{2} \) et de premier terme \( V_0 = 0 \).

c. Expression de \( V_n \) et \( U_n \) :

\[ V_n = 0 \times \left( \frac{3}{2} \right)^n = 0 \]
\[ U_n = V_n - 2 = -2 \]

3. Somme \( S_n \) et \( S'_n \) :

\[ S_n = \sum_{k=0}^{n-1} V_k = 0 \]
\[ S'_n = \sum_{k=0}^{n-1} U_k = -2n \]

Exercice 11

1. Calcul de \( U_2 \) :

Augmentation de 5% par an :
\[ U_1 = 25000 \]
\[ U_2 = 1.05 \times 25000 = 26250 \text{ F} \]

2. a. Relation de récurrence et nature de la suite :

\[ U_{n+1} = 1.05 U_n \]

La suite \( (U_n) \) est géométrique de raison \( q = 1.05 \) et de premier terme \( U_1 = 25000 \).

b. Expression de \( U_n \) et calcul de \( U_8 \) :

\[ U_n = 25000 \times (1.05)^{n-1} \]
\[ U_8 = 25000 \times (1.05)^7 \]

Calcul de \( (1.05)^7 \) :
\[ (1.05)^2 = 1.1025 \]
\[ (1.05)^4 \approx 1.2155 \]
\[ (1.05)^7 \approx 1.407 \]
\[ U_8 \approx 25000 \times 1.407 \approx 35175 \text{ F} \]

3. Montant total des loyers sur 8 ans :

\[ S_8 = 25000 \times \frac{1.05^8 - 1}{1.05 - 1} \]
\[ 1.05^8 \approx 1.477 \]
\[ S_8 \approx 25000 \times \frac{0.477}{0.05} = 25000 \times 9.54 = 238500 \text{ F} \]