Correction Série d'exercices : Fonction Logarithme Népérien - TL

 Exercice 1

 1. Résoudre dans ℝ l'équation :
$$\ln(3-2x) + \ln(1-x) = \ln 2 + \ln 3$$

Conditions d'existence :

•  $3-2x > 0 \Leftrightarrow x < \frac{3}{2}$
• $1-x > 0 \Leftrightarrow x < 1$

Domaine de validité : $x < 1$

Résolution :
$$\ln[(3-2x)(1-x)] = \ln(2 \times 3)$$
$$(3-2x)(1-x) = 6$$
$$3 - 3x - 2x + 2x^2 = 6$$
$$2x^2 - 5x - 3 = 0$$

Solutions de l'équation quadratique :
$$\Delta = 25 + 24 = 49$$
$$x = \frac{5 \pm 7}{4}$$
$$x = 3 \quad \text{ou} \quad x = -\frac{1}{2}$$

Solution dans le domaine : $x = -\frac{1}{2}$

Réponse finale :
$$\boxed{-\dfrac{1}{2}}$$

 2. Résoudre dans ℝ l'équation :
$$\ln(x+3) + \ln(x+5) = \ln 15$$

Conditions d'existence :

•  $x+3 > 0 \Leftrightarrow x > -3$
• $x+5 > 0 \Leftrightarrow x > -5$

Domaine de validité : $x > -3$

Résolution :
$$\ln[(x+3)(x+5)] = \ln 15$$
$$(x+3)(x+5) = 15$$
$$x^2 + 8x + 15 = 15$$
$$x^2 + 8x = 0$$
$$x(x + 8) = 0$$
$$x = 0 \quad \text{ou} \quad x = -8$$

Solution dans le domaine : $x = 0$

Réponse finale :
$$\boxed{0}$$

 3. Résoudre dans ℝ l'équation :
$$\ln(x+4) + \ln(x+3) = \ln(2x+18)$$

Conditions d'existence :

•  $x+4 > 0 \Leftrightarrow x > -4$
•  $x+3 > 0 \Leftrightarrow x > -3$
•  $2x+18 > 0 \Leftrightarrow x > -9$

Domaine de validité : $x > -3$

Résolution :
$$\ln[(x+4)(x+3)] = \ln(2x+18)$$
$$(x+4)(x+3) = 2x + 18$$
$$x^2 + 7x + 12 = 2x + 18$$
$$x^2 + 5x - 6 = 0$$
$$(x+6)(x-1) = 0$$
$$x = -6 \quad \text{ou} \quad x = 1$$

Solution dans le domaine : $x = 1$

Réponse finale :
$$\boxed{1}$$

 4. Résoudre dans ℝ l'équation :
$$\ln(x+2) = \ln(-x+11) - \ln(x+3)$$

Conditions d'existence :

•  $x+2 > 0 \Leftrightarrow x > -2$
•  $-x+11 > 0 \Leftrightarrow x < 11$
•  $x+3 > 0 \Leftrightarrow x > -3$

Domaine de validité : $-2 < x < 11$

Résolution :
$$\ln(x+2) = \ln\left(\frac{-x+11}{x+3}\right)$$
$$x+2 = \frac{-x+11}{x+3}$$
$$(x+2)(x+3) = -x + 11$$
$$x^2 + 5x + 6 = -x + 11$$
$$x^2 + 6x - 5 = 0$$

Solutions de l'équation quadratique :
$$\Delta = 36 + 20 = 56$$
$$x = \frac{-6 \pm 2\sqrt{14}}{2} = -3 \pm \sqrt{14}$$

Solutions dans le domaine :

•  $-3 + \sqrt{14} \approx 0,74$ (valide)
•  $-3 - \sqrt{14} \approx -6,74$ (non valide)

Réponse finale :
$$\boxed{-3 + \sqrt{14}}$$

 5. Résoudre dans ℝ l'équation :
$$2\ln(3x-1) + \ln(5x+2) = \ln 2$$

Conditions d'existence :

•  $3x-1 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{1}{3}$
•  $5x+2 > 0 \Leftrightarrow x > -\frac{2}{5}$

Domaine de validité : $x > \frac{1}{3}$

Résolution :
$$\ln[(3x-1)^2 (5x+2)] = \ln 2$$
$$(3x-1)^2 (5x+2) = 2$$
$$(9x^2 - 6x + 1)(5x + 2) = 2$$
$$45x^3 + 18x^2 - 30x^2 - 12x + 5x + 2 = 2$$
$$45x^3 - 12x^2 - 7x = 0$$
$$x(45x^2 - 12x - 7) = 0$$

Solutions :

•  $x = 0$ (non valide car $x > \frac{1}{3}$)
•  $45x^2 - 12x - 7 = 0$

  $$\Delta = 144 + 1260 = 1404$$
  $$x = \frac{12 \pm \sqrt{1404}}{90} = \frac{12 \pm 6\sqrt{39}}{90} = \frac{2 \pm \sqrt{39}}{15}$$

Solution dans le domaine :
$$x = \frac{2 + \sqrt{39}}{15} \approx 0,56$$

Réponse finale :
$$\boxed{\dfrac{2 + \sqrt{39}}{15}}$$

 6. Résoudre dans ℝ l'équation :
$$\ln(3-x) + \ln 2 - \ln(2x+1) = 0$$

Conditions d'existence :

•  $3-x > 0 \Leftrightarrow x < 3$
•  $2x+1 > 0 \Leftrightarrow x > -\frac{1}{2}$

Domaine de validité : $-\frac{1}{2} < x < 3$

Résolution :
$$\ln\left(\frac{2(3-x)}{2x+1}\right) = 0$$
$$\frac{6 - 2x}{2x + 1} = 1$$
$$6 - 2x = 2x + 1$$
$$5 = 4x$$
$$x = \frac{5}{4}$$

Réponse finale :
$$\boxed{\dfrac{5}{4}}$$

 7. Résoudre dans ℝ l'équation :
$$\ln(x-1) + \ln(3x+4) - 2\ln\sqrt{6} = 0$$

Conditions d'existence :

• $x-1 > 0 \Leftrightarrow x > 1$
• $3x+4 > 0 \Leftrightarrow x > -\frac{4}{3}$

Domaine de validité : $x > 1$

Résolution :
$$\ln[(x-1)(3x+4)] = \ln 6$$
$$(x-1)(3x+4) = 6$$
$$3x^2 + x - 4 = 6$$
$$3x^2 + x - 10 = 0$$

Solutions :
$$\Delta = 1 + 120 = 121$$
$$x = \frac{-1 \pm 11}{6}$$
$$x = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} \quad \text{ou} \quad x = -2$$

Solution dans le domaine : $x = \frac{5}{3}$

Réponse finale :
$$\boxed{\dfrac{5}{3}}$$

 8. Résoudre dans ℝ l'équation :
$$\ln x + \ln(3x+2) = \ln(2x+3)$$

Conditions d'existence :

•  $x > 0$
•  $3x+2 > 0 \Leftrightarrow x > -\frac{2}{3}$
• $2x+3 > 0 \Leftrightarrow x > -\frac{3}{2}$

Domaine de validité : $x > 0$

Résolution :
$$\ln[x(3x+2)] = \ln(2x+3)$$
$$3x^2 + 2x = 2x + 3$$
$$3x^2 = 3$$
$$x^2 = 1$$
$$x = 1 \quad \text{ou} \quad x = -1$$

Solution dans le domaine : $x = 1$

Réponse finale :
$$\boxed{1}$$

Exercice 2

 a. Résoudre dans ℝ l'inéquation :
$$\ln(2x+6) + \ln(3x-5) \leq \ln 10$$

Conditions d'existence :

•  $2x+6 > 0 \Leftrightarrow x > -3$
• $3x-5 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{5}{3}$

Domaine de validité : $x > \frac{5}{3}$

Résolution :
$$\ln[(2x+6)(3x-5)] \leq \ln 10$$
$$(2x+6)(3x-5) \leq 10$$
$$6x^2 - 10x + 18x - 30 \leq 10$$
$$6x^2 + 8x - 40 \leq 0$$
$$3x^2 + 4x - 20 \leq 0$$

Solutions de l'équation quadratique :
$$\Delta = 16 + 240 = 256$$
$$x = \frac{-4 \pm 16}{6}$$
$$x = 2 \quad \text{ou} \quad x = -\frac{10}{3}$$

Solution de l'inéquation : $-\frac{10}{3} \leq x \leq 2$

Intersection avec le domaine : $\frac{5}{3} < x \leq 2$

Réponse finale :
$$\boxed{\left]\dfrac{5}{3}\,; 2\right]}$$

 b. Résoudre dans ℝ l'inéquation :
$$\ln(2x-5) + \ln(x+1) \leq 2\ln 2$$

Conditions d'existence :
- $2x-5 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{5}{2}$
- $x+1 > 0 \Leftrightarrow x > -1$

Domaine de validité : $x > \frac{5}{2}$

Résolution :
$$\ln[(2x-5)(x+1)] \leq \ln 4$$
$$(2x-5)(x+1) \leq 4$$
$$2x^2 - 3x - 5 \leq 4$$
$$2x^2 - 3x - 9 \leq 0$$

Solutions de l'équation quadratique :
$$\Delta = 9 + 72 = 81$$
$$x = \frac{3 \pm 9}{4}$$
$$x = 3 \quad \text{ou} \quad x = -\frac{3}{2}$$

Solution de l'inéquation : $-\frac{3}{2} \leq x \leq 3$

Intersection avec le domaine : $\frac{5}{2} < x \leq 3$

Réponse finale :
$$\boxed{\left]\dfrac{5}{2}\,; 3\right]}$$

 c. Résoudre dans ℝ l'inéquation :
$$\ln(x+5) + \ln(x+4) \leq \ln(x+13)$$

Conditions d'existence :

•  $x+5 > 0 \Leftrightarrow x > -5$
•  $x+4 > 0 \Leftrightarrow x > -4$
•  $x+13 > 0 \Leftrightarrow x > -13$

Domaine de validité : $x > -4$

Résolution :
$$\ln[(x+5)(x+4)] \leq \ln(x+13)$$
$$(x+5)(x+4) \leq x + 13$$
$$x^2 + 9x + 20 \leq x + 13$$
$$x^2 + 8x + 7 \leq 0$$

Solutions de l'équation quadratique :
$$(x+1)(x+7) \leq 0$$

Solution de l'inéquation : $-7 \leq x \leq -1$

Intersection avec le domaine : $-4 < x \leq -1$

Réponse finale :
$$\boxed{\left]-4\,; -1\right]}$$

 d. Résoudre dans ℝ l'inéquation :
$$\ln(x+1) > \ln(4x-1) - \ln(x-1)$$

Conditions d'existence :

•  $x+1 > 0 \Leftrightarrow x > -1$
•  $4x-1 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{1}{4}$
•  $x-1 > 0 \Leftrightarrow x > 1$

Domaine de validité : $x > 1$

Résolution :
$$\ln(x+1) > \ln\left(\frac{4x-1}{x-1}\right)$$
$$x+1 > \frac{4x-1}{x-1}$$
$$(x+1)(x-1) > 4x - 1$$
$$x^2 - 1 > 4x - 1$$
$$x^2 - 4x > 0$$
$$x(x-4) > 0$$

Solution de l'inéquation : $x < 0$ ou $x > 4$

Intersection avec le domaine : $x > 4$

Réponse finale :
$$\boxed{\left]4\,; +\infty\right[}$$

 e. Résoudre dans ℝ l'inéquation :
$$\ln(3x^2 - x) \leq \ln x + \ln 2$$

Conditions d'existence :

•  $3x^2 - x > 0 \Leftrightarrow x(3x-1) > 0 \Leftrightarrow x < 0$ ou $x > \frac{1}{3}$
•  $x > 0$

Domaine de validité : $x > \frac{1}{3}$

Résolution :
$$\ln(3x^2 - x) \leq \ln(2x)$$
$$3x^2 - x \leq 2x$$
$$3x^2 - 3x \leq 0$$
$$3x(x-1) \leq 0$$

Solution de l'inéquation : $0 \leq x \leq 1$

Intersection avec le domaine : $\frac{1}{3} < x \leq 1$

Réponse finale :
$$\boxed{\left]\dfrac{1}{3}\,; 1\right]}$$

 f. Résoudre dans ℝ l'inéquation :
$$2\ln(1-x) - \ln(x+5) \leq 0$$

Conditions d'existence :

•  $1-x > 0 \Leftrightarrow x < 1$
• $x+5 > 0 \Leftrightarrow x > -5$

Domaine de validité : $-5 < x < 1$

Résolution :
$$\ln[(1-x)^2] \leq \ln(x+5)$$
$$(1-x)^2 \leq x + 5$$
$$1 - 2x + x^2 \leq x + 5$$
$$x^2 - 3x - 4 \leq 0$$

Solutions de l'équation quadratique :
$$(x-4)(x+1) \leq 0$$

Solution de l'inéquation : $-1 \leq x \leq 4$

Intersection avec le domaine : $-1 \leq x < 1$

Réponse finale :
$$\boxed{\left[-1\,; 1\right[}$$

 g. Résoudre dans ℝ l'inéquation :
$$\ln(3-x) + \ln 24 < \ln(x+1) + \ln(25x-49)$$

Conditions d'existence :

•  $3-x > 0 \Leftrightarrow x < 3$
•  $x+1 > 0 \Leftrightarrow x > -1$
• $25x-49 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{49}{25}$

Domaine de validité : $\frac{49}{25} < x < 3$

Résolution :
$$\ln[24(3-x)] < \ln[(x+1)(25x-49)]$$
$$72 - 24x < 25x^2 - 49x + 25x - 49$$
$$72 - 24x < 25x^2 - 24x - 49$$
$$121 < 25x^2$$
$$x^2 > \frac{121}{25}$$
$$x > \frac{11}{5} \quad \text{ou} \quad x < -\frac{11}{5}$$

Intersection avec le domaine : $\frac{11}{5} < x < 3$

Réponse finale :
$$\boxed{\left]\dfrac{11}{5}\,; 3\right[}$$

 h. Résoudre dans ℝ l'inéquation :
$$\ln x + \ln(2-x) + \ln(x+4) \geq \ln 5$$

Conditions d'existence :

•  $x > 0$
•  $2-x > 0 \Leftrightarrow x < 2$
• $x+4 > 0 \Leftrightarrow x > -4$

Domaine de validité : $0 < x < 2$

Résolution :
$$\ln[x(2-x)(x+4)] \geq \ln 5$$
$$x(2-x)(x+4) \geq 5$$
$$-x^3 - 2x^2 + 8x - 5 \geq 0$$
$$x^3 + 2x^2 - 8x + 5 \leq 0$$

Test des racines évidentes :

•  $x = 1$ : $1 + 2 - 8 + 5 = 0$

Factorisation :
$$(x-1)(x^2 + 3x - 5) \leq 0$$

Solutions de $x^2 + 3x - 5 = 0$ :
$$x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 20}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{29}}{2}$$

Solution de l'inéquation :
$$x \in \left[\frac{-3 - \sqrt{29}}{2}\,; 1\right] \cup \left[\frac{-3 + \sqrt{29}}{2}\,; +\infty\right[$$

Intersection avec le domaine : $0 < x \leq 1$

Réponse finale :
$$\boxed{\left]0\,; 1\right]}$$

 Exercice 3

 1. Résoudre dans ℝ l'équation :
$$(\ln x)^2 + 2\ln x - 3 = 0$$

Substitution : $y = \ln x$
$$y^2 + 2y - 3 = 0$$
$$(y + 3)(y - 1) = 0$$
$$y = -3 \quad \text{ou} \quad y = 1$$

Solutions :
$$\ln x = -3 \Leftrightarrow x = e^{-3}$$
$$\ln x = 1 \Leftrightarrow x = e$$

Réponse finale :
$$\boxed{e^{-3}} \quad \text{et} \quad \boxed{e}$$

 2. Résoudre dans ℝ l'inéquation :
$$[\ln(2-x)]^2 + 2\ln(2-x) - 3 \leq 0$$

Substitution : $y = \ln(2-x)$
$$y^2 + 2y - 3 \leq 0$$
$$(y + 3)(y - 1) \leq 0$$

Solution de l'inéquation : $-3 \leq y \leq 1$

Retour à la variable $x$ :
$$-3 \leq \ln(2-x) \leq 1$$
$$e^{-3} \leq 2 - x \leq e$$
$$-e + 2 \leq x \leq 2 - e^{-3}$$

Conditions d'existence : $2 - x > 0 \Leftrightarrow x < 2$

Intersection : $-e + 2 \leq x < 2$

Réponse finale :
$$\boxed{\left[2 - e\,; 2 - e^{-3}\right]}$$

 3. Résoudre dans ℝ l'inéquation :
$$(\ln x)^2 + 2\ln x - 3 \leq 0$$

Substitution : $y = \ln x$
$$y^2 + 2y - 3 \leq 0$$
$$(y + 3)(y - 1) \leq 0$$
$$-3 \leq y \leq 1$$

Retour à la variable $x$ :
$$-3 \leq \ln x \leq 1$$
$$e^{-3} \leq x \leq e$$

Réponse finale :
$$\boxed{\left[e^{-3}\,; e\right]}$$

 Exercice 4

 a.

$$3(\ln x)^2 - 2 \ln x - 1 = 0$$

Posons $y = \ln x$ :

$$3y^2 -2y -1 =0$$

Discriminant :

$$\Delta = (-2)^2 -4 \times3 \times(-1) =4 +12 =16$$

Racines :

$$y_1 = \frac{2 -4}{6} = -\frac{1}{3}, \quad y_2 = \frac{2 +4}{6} =1$$

Donc :

$$\ln x = -\frac{1}{3} \implies x = e^{-1/3}, \quad \ln x =1 \implies x = e^1 = e$$

 Solution finale :

$$\boxed{x \in \left\{ e^{-1/3}, \, e \right\}}$$

 b.

$$[\ln(x +1)]^2 - \ln(x -1) -2 =0$$

Posons $u = \ln(x +1)$ et travaillons $\ln(x -1)$ :

$$u^2 - \ln(x -1) -2 =0 \implies \ln(x -1) = u^2 -2$$

On remplace $u$ :

$$\ln(x -1) = (\ln(x +1))^2 -2$$

On doit résoudre ce système :

$$x +1 >0, \quad x -1 >0 \implies x >1$$

Solution numérique à prévoir → veux-tu que je développe ça complètement avec approximation ?

 c.

$$(\ln x)^2 + \frac{5}{2} \ln x - \frac{3}{2}=0$$

Posons $y = \ln x$ :

$$y^2 + \frac{5}{2} y -\frac{3}{2}=0$$

Discriminant :

$$\Delta = \left(\frac{5}{2}\right)^2 -4 \times1 \times\left(-\frac{3}{2}\right)=\frac{25}{4} +6=\frac{49}{4}$$

Racines :

$$y_1 = \frac{-\frac{5}{2} -\frac{7}{2}}{2} = -3, \quad y_2 = \frac{-\frac{5}{2} +\frac{7}{2}}{2} = \frac{1}{2}$$

Donc :

$$\ln x = -3 \implies x = e^{-3}, \quad \ln x = \frac{1}{2} \implies x = e^{1/2}$$

 Solution finale :

$$\boxed{x \in \left\{ e^{-3},\, e^{1/2} \right\}}$$

 d.

$$2[\ln(2x)]^2 -6\ln(2x) +3 \leq0$$

Posons $y = \ln(2x)$ :

$$2y^2 -6y +3 \leq0$$

Discriminant :

$$\Delta =36 -24 =12$$

Racines :

$$y_1 = \frac{6 -2\sqrt{3}}{4}=\frac{3 -\sqrt{3}}{2}, \quad y_2 = \frac{6 +2\sqrt{3}}{4}=\frac{3 +\sqrt{3}}{2}$$

Intervalle :

$$\frac{3 -\sqrt{3}}{2} \leq y \leq \frac{3 +\sqrt{3}}{2}$$

Revenons à $x$ :

$$\ln(2x) = a \implies 2x = e^a \implies x = \frac{e^a}{2}$$

 Solution finale :

$$x \in \left[\frac{e^{\frac{3 -\sqrt{3}}{2}}}{2},\, \frac{e^{\frac{3 +\sqrt{3}}{2}}}{2}\right]$$

 e.

$$(\ln x)^2 + \ln x -6 \geq0$$

Posons $y = \ln x$ :

$$y^2 + y -6 \geq0$$

Discriminant :

$$\Delta =1 +24 =25$$

Racines :

$$y_1 =\frac{-1 -5}{2} =-3, \quad y_2 =\frac{-1 +5}{2} =2$$

Signe :

$$y \leq -3 \quad \text{ou} \quad y \geq2$$

Donc :

$$\ln x \leq -3 \implies x \leq e^{-3}, \quad \ln x \geq2 \implies x \geq e^2$$

Mais $x >0$, donc on garde :

$$x \leq e^{-3} \quad \text{ou} \quad x \geq e^2$$

 Solution finale :

$$\boxed{x \in \left]0,\, e^{-3}\right] \cup [e^2,\,+\infty)}$$

 f.

$$\ln x -\frac{1}{\ln x} >\frac{3}{2}$$

Posons $y = \ln x$, $y \neq0$ :

$$y -\frac{1}{y} >\frac{3}{2}$$

On multiplie :

$$2y -\frac{2}{y} >3 \implies2y^2 -3y -2 >0$$

Discriminant :

$$\Delta =9 +16=25$$

Racines :

$$y_1 =\frac{3 -5}{4} =-\frac{1}{2}, \quad y_2 =\frac{3 +5}{4} =2$$

Signe :

$$y <-\frac{1}{2} \quad \text{ou} \quad y >2$$

Donc :

$$\ln x <-\frac{1}{2} \implies x < e^{-1/2}, \quad \ln x >2 \implies x > e^2$$

Mais attention $y \neq0$ et $x >0$

 Solution finale :

$$\boxed{x \in ]0,\, e^{-1/2}[ \cup ]e^2,\, +\infty)}$$

 Exercice 5

 1. Développer, réduire et ordonner :
$$P(x) = (x^2 - 4)(4x^2 - 1)$$
$$P(x) = 4x^4 - x^2 - 16x^2 + 4$$
$$P(x) = 4x^4 - 17x^2 + 4$$

Réponse finale :
$$\boxed{4x^4 - 17x^2 + 4}$$

 2. Résoudre dans ℝ l'équation :
$$4(\ln x)^4 - 17(\ln x)^2 + 4 = 0$$

Substitution : $y = (\ln x)^2$
$$4y^2 - 17y + 4 = 0$$
$$\Delta = 289 - 64 = 225$$
$$y = \frac{17 \pm 15}{8}$$
$$y = 4 \quad \text{ou} \quad y = \frac{1}{4}$$

Retour à la variable $x$ :

•  $(\ln x)^2 = 4 \Leftrightarrow \ln x = \pm 2 \Leftrightarrow x = e^2$ ou $x = e^{-2}$
•  $(\ln x)^2 = \frac{1}{4} \Leftrightarrow \ln x = \pm \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = e^{\frac{1}{2}}$ ou $x = e^{-\frac{1}{2}}$

Réponse finale :
$$\boxed{e^{-2}}, \quad \boxed{e^{-\frac{1}{2}}}, \quad \boxed{e^{\frac{1}{2}}}, \quad \boxed{e^{2}}$$

 3. Résoudre dans ℝ l'inéquation :
$$4(\ln x)^4 - 17(\ln x)^2 + 4 \leq 0$$

Substitution : $y = (\ln x)^2$
$$4y^2 - 17y + 4 \leq 0$$

Solution de l'inéquation : $\frac{1}{4} \leq y \leq 4$

Retour à la variable $x$ :
$$\frac{1}{4} \leq (\ln x)^2 \leq 4$$
$$\frac{1}{2} \leq |\ln x| \leq 2$$

Cas :

•  $-2 \leq \ln x \leq -0,5 \Leftrightarrow e^{-2} \leq x \leq e^{-0,5}$
•  $0,5 \leq \ln x \leq 2 \Leftrightarrow e^{0,5} \leq x \leq e^2$

Réponse finale :
$$\boxed{\left[e^{-2}\,; e^{-\frac{1}{2}}\right]} \quad \text{et} \quad \boxed{\left[e^{\frac{1}{2}}\,; e^2\right]}$$

 Exercice 6

 1. Calcul de $P(1)$ et factorisation de $P(x)$

On a

$$P(x) = 2x^3 - 7x^2 + 2x + 3$$

Calcul de $P(1)$ :

$$P(1) = 2(1)^3 - 7(1)^2 + 2(1) + 3 = 2 - 7 + 2 + 3 = 0$$

Donc $x = 1$ est une racine.

On peut donc factoriser :

$$P(x) = (x - 1)Q(x)$$

où $Q(x)$ est un polynôme de degré 2.

Faisons la division euclidienne :

$$\frac{2x^3 - 7x^2 + 2x + 3}{x - 1}$$

 $2x^3 ÷ x = 2x^2$, on soustrait $2x^3 - 2x^2$ → reste $-7x^2 - (-2x^2) = -5x^2$
 $-5x^2 ÷ x = -5x$, on soustrait $-5x^2 +5x$ → reste $2x - 5x = -3x$
 $-3x ÷ x = -3$, on soustrait $-3x +3$ → reste $3 -3 =0$

Donc :

$$Q(x) = 2x^2 -5x -3$$

Factorisation de $Q(x)$ :

Discriminant :

$$\Delta = (-5)^2 -4(2)(-3)=25 +24 =49$$

Racines :

$$x_1 = \frac{5 -7}{4} = -\frac{1}{2}, \quad x_2 = \frac{5 +7}{4} =3$$

Donc :

$$Q(x)=2(x +\frac{1}{2})(x -3)=2\left(\frac{2x +1}{2}\right)(x -3)= (2x +1)(x -3)$$

Finalement :

$$\boxed{P(x)= (x -1)(2x +1)(x -3)}$$

 2. Ensemble de définition de $f(x)=\ln(2x^{3}-7x^{2}+2x+3)$

Il faut :

$$2x^3 -7x^2 +2x +3 >0$$

On sait que :

$$P(x) = (x -1)(2x +1)(x -3)$$

On étudie le signe.

 Racines : $-\frac{1}{2}, 1, 3$
 Coefficient dominant positif ($2$) ⇒ $+\infty$ à droite

Tableau de signes :

$$\begin{array}{c|cccccc} x & -\infty & -\frac{1}{2} & 1 & 3 & +\infty \\ \hline (x-1) & - & - & 0 & + & + \\ (2x+1) & - & 0 & + & + & + \\ (x-3) & - & - & - & 0 & + \\ P(x) & - & 0 & + & 0 & + \\ \end{array}$$

Donc $P(x) >0$ sur :

$$]1,3[ \cup ]3, +\infty[$$

Mais attention au zéro :

 $P(-\frac{1}{2})=0$ : on exclut, car $\ln(0)$ n’existe pas.

Donc :

$$\boxed{\text{Domaine de  f: \; } ]0,3[ \cup ]3, +\infty[}$$

$$\boxed{x \in \left]0,\, e^{-3}\right] \cup [e^2,\,+\infty[}$$

 3. Résolution dans $\mathbb{R}$

a. Équation

$$2(\ln x)^3 -7(\ln x)^2 +2\ln x +3 =0$$

Posons :

$$y = \ln x$$

On résout :

$$2y^3 -7y^2 +2y +3=0$$

On a déjà factorisé :

$$2y^3 -7y^2 +2y +3 = (y -1)(2y +1)(y -3)$$

Donc :

$$y \in \{1, -\frac{1}{2}, 3\}$$

On revient à $x$ :

$$\ln x =1 \implies x=e \\ \ln x =- \frac{1}{2} \implies x=e^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{e}} \\ \ln x =3 \implies x=e^3$$

Donc :

$$\boxed{x \in \left\{ \frac{1}{\sqrt{e}}, \; e, \; e^3 \right\}}$$

b. Inéquation

$$2(\ln x)^3 -7(\ln x)^2 +2\ln x +3 \leq 0$$

On reprend le signe :

 Racines : $-\frac{1}{2}, 1, 3$
 Signe sur $y$ :

$$\begin{array}{c|ccccc} y & -\infty & -\frac{1}{2} & 1 &3 & +\infty \\ 2y^3 -7y^2 +2y +3 & - &0 & + &0 & + \\ \end{array}$$

Donc $\leq 0$ sur :

$$]-\infty, -\frac{1}{2}] \cup [1,3]$$

On revient à $x$ :

 $-\infty < \ln x \leq -\frac{1}{2} \implies 0 < x \leq e^{-1/2}$
 $1 \leq \ln x \leq 3 \implies e \leq x \leq e^3$

Donc :

$$\boxed{x \in ]0, e^{-1/2}] \cup [e, e^3]}$$