Solution Série d'exercices : Calcul dans ℝ 2nd Serie 2

 1. \( A = -1 + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} \)

On met au même dénominateur :

\[\begin{array}{rcl}
A&=&-1 + \frac{1}{3} + \dfrac{1}{4}\\&=& -\dfrac{12}{12} + \dfrac{4}{12} + \dfrac{3}{12}\\&=&\dfrac{-12 + 4 + 3}{12}\\&=&\dfrac{-5}{12}
\end{array}\]

Réponse : \( \boxed{A = -\dfrac{5}{12} } \)

 2. \( B = \left(\dfrac{3}{2} - \dfrac{3}{7} \right)\times\left(-\dfrac{1}{3} + \dfrac{5}{2} \right) \)

D’abord les parenthèses :

 \( \dfrac{3}{2} - \dfrac{3}{7}= \dfrac{21 - 6}{14}= \dfrac{15}{14} \)- \( -\dfrac{1}{3} + \dfrac{5}{2}=\dfrac{-2 + 15}{6}= \dfrac{13}{6} \)

Donc :

\[
B = \dfrac{15}{14} \times \dfrac{13}{6} = \dfrac{195}{84}
\]

On simplifie ($3$ divise le numérateur et le dénominateur) :

\[
B = \dfrac{65}{28}
\]

Réponse : \( \boxed{B = \dfrac{65}{28}}\)

 3. \( C = \left(3 - \dfrac{2}{3} \right) \div \left(\dfrac{7}{2} + 2 \right) \)

 \( 3 - \dfrac{2}{3} = \dfrac{9 - 2}{3} = \dfrac{7}{3} \)
 \( \dfrac{7}{2} + 2 = \dfrac{7 + 4}{2} = \dfrac{11}{2} \)

Donc :

\[\begin{array}{rcl}
C &=& \dfrac{7}{3} \div \dfrac{11}{2} \\&=& \dfrac{7}{3} \times \dfrac{2}{11} \\&=& \dfrac{14}{33}\end{array}
\]

Réponse :\(\boxed{ C = \dfrac{14}{33}}\)

 4. \( D = \dfrac{5}{-\dfrac{1}{2} \cdot 5 + \dfrac{1}{2}} \)

Calcul au dénominateur :

 \(-\dfrac{1}{2} \cdot 5= -\dfrac{5}{2} \)
 \( -\dfrac{5}{2} + \dfrac{1}{2} \\= -\dfrac{4}{2}= -2 \)

Donc :

\[
D = \dfrac{5}{-2} = -\dfrac{5}{2}
\]

Réponse : \(\boxed{ D = -\dfrac{5}{2} }\)

 

1. \( E = 3\sqrt{12} - 2\sqrt{3} + 5\sqrt{75} + \sqrt{27} \)

On commence par simplifier chaque racine :

 \( \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3} \)
 \( \sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3} \)
 \( \sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3} \)

Donc :

\[\begin{array}{rcl}
E&=& 3(2\sqrt{3}) - 2\sqrt{3} + 5(5\sqrt{3}) + 3\sqrt{3} \\&=& 6\sqrt{3} - 2\sqrt{3} + 25\sqrt{3} + 3\sqrt{3}\end{array}
\]

Additionnons les coefficients :

\[\begin{array}{rcl}
E&=&(6 - 2 + 25 + 3)\sqrt{3}\\&=& 32\sqrt{3}\end{array}
\]

Réponse : \( \boxed{ E = 32\sqrt{3} }\)

 2. \( F = \sqrt{112} \times \sqrt{567} \)

On utilise : \( \sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b} \)

\[
F = \sqrt{112 \times 567}
\]

Calculons ce produit :

\[\begin{array}{rcl}
112 \times 567 &=& (16 \times 7) \times (81 \times 7) \\&=& 16 \times 81 \times 49\end{array}
\]

Or :

 \( \sqrt{16} = 4 \)
 \( \sqrt{81} = 9 \)
 \( \sqrt{49} = 7 \)

Donc :

\[\begin{array}{rcl}
F&=& \sqrt{16 \times 81 \times 49}\\&=&4 \times 9 \times 7\\&=& 252\end{array}
\]

Réponse : \(\boxed{ F = 252 } \)

 3. \( G = 5\sqrt{45} + \sqrt{5} + 3\sqrt{20} \)

Simplifions chaque racine :

 \( \sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5} \)
 \( \sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5} \)

Donc :

\[
G = 5(3\sqrt{5}) + \sqrt{5} + 3(2\sqrt{5}) = 15\sqrt{5} + \sqrt{5} + 6\sqrt{5}
\]

\[
G = (15 + 1 + 6)\sqrt{5} = 22\sqrt{5}
\]

Réponse : \(\boxed{ G = 22\sqrt{5}v } \)

 4. \( H = \dfrac{2 - \sqrt{5}}{2 + \sqrt{5}} \)

On rationalise le dénominateur :

\[\begin{array}{rcl}
H &=& \dfrac{2 - \sqrt{5}}{2 + \sqrt{5}} \times \dfrac{2 - \sqrt{5}}{2 - \sqrt{5}}\\&=& \dfrac{(2 - \sqrt{5})^2}{(2 + \sqrt{5})(2 - \sqrt{5})}\end{array}
\]

Calcul du numérateur :

\[\begin{array}{rcl}
(2 - \sqrt{5})^2&=& 4 - 4\sqrt{5} + 5 \\&=& 9 - 4\sqrt{5}\end{array}
\]

Calcul du dénominateur :

\[\begin{array}{rcl}
(2 + \sqrt{5})(2 - \sqrt{5}) &=& 4 - 5 \\&=& -1\end{array}
\]

Donc :

\[\begin{array}{rcl}
H &=& \dfrac{9 - 4\sqrt{5}}{-1} \\&=& -9 + 4\sqrt{5}\end{array}
\]

Réponse : \( \boxed{H = -9 + 4\sqrt{5} } \)
 

 1. Écrire plus simplement les expressions suivantes

 a. \( X = 3\sqrt{8} + \sqrt{32} - \sqrt{72} - 2\sqrt{128} \)

On simplifie les racines :

 \( \sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2} \)
 \( \sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2} \)
 \( \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2} \)
 \( \sqrt{128} = \sqrt{64 \times 2} = 8\sqrt{2} \)

Donc :

\[
X = 3(2\sqrt{2}) + 4\sqrt{2} - 6\sqrt{2} - 2(8\sqrt{2}) = 6\sqrt{2} + 4\sqrt{2} - 6\sqrt{2} - 16\sqrt{2}
\]

\[
X = (6 + 4 - 6 - 16)\sqrt{2} = (-12)\sqrt{2}
\]

Réponse : \( X = -12\sqrt{2} \)

 b. \( Y = \sqrt{20} + 3\sqrt{45} - 7\sqrt{7} + \sqrt{500} \)

Simplifions :

 \( \sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5} \)
 \( \sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5} \)
 \( \sqrt{500} = \sqrt{100 \times 5} = 10\sqrt{5} \)

Donc :

\[
Y = 2\sqrt{5} + 3(3\sqrt{5}) - 7\sqrt{7} + 10\sqrt{5} = 2\sqrt{5} + 9\sqrt{5} + 10\sqrt{5} - 7\sqrt{7}
\]

\[
Y = (2 + 9 + 10)\sqrt{5} - 7\sqrt{7} = 21\sqrt{5} - 7\sqrt{7}
\]

Réponse : \( Y = 21\sqrt{5} - 7\sqrt{7} \)

 2. On donne :  
\( m = 1 - 2\sqrt{3} \) et \( p = \sqrt{13 - 4\sqrt{3}} \)

 a. Montrer que \( m \) est négatif

 \( 2\sqrt{3} \approx 2 \times 1.732 = 3.464 \)
- Donc \( m \approx 1 - 3.464 = -2.464 \)

\( 1^2 = 1 \)
\( (2\sqrt{3})^2 =(2)^2x(\sqrt{3})^2 =4x3=12 \)
\( 1 < 12 \)
Donc
\( 1^2 < (2\sqrt{3})^2  \)
 \( 1<2\sqrt{3} \)
D'ou \( 1-2\sqrt{3} < 0\)

Donc m est bien négatif.

 b. Calculer \( m^2 \) et en déduire que \( p = -m \)

On calcule :

\[\begin{array}{rcl}
m^2&=& (1 - 2\sqrt{3})^2\\&=& 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 2\sqrt{3} + (2\sqrt{3})^2\\&=&1 - 4\sqrt{3} + 12\\&=&13 - 4\sqrt{3}\end{array}
\]

Donc :

\[\begin{array}{rcl}
p = \sqrt{13 - 4\sqrt{3}} = \sqrt{m^2} = |m|= -m \quad \text{(car m est négatif)}\end{array}
\]\
Conclusion : \( p = -m \)

 1. Développer, réduire et ordonner :

 a. \( A = (\sqrt{5} - \sqrt{3})^2 \)

On utilise : \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)

\[\begin{array}{rcl}
A&=&(\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 \\&=& 5 - 2\sqrt{15} + 3 \\&=& 8 - 2\sqrt{15}\end{array}
\]

Réponse : \( A = 8 - 2\sqrt{15} \)

 b. \( B = (3 - \sqrt{5})(3 + \sqrt{5}) \)

C’est une différence de carrés :  
\[\begin{array}{rcl}
B&=& 3^2 - (\sqrt{5})^2 \\&=& 9 - 5 \\&=& 4\end{array}
\]

Réponse : \( B = 4 \)

 c. \( C = (x + 2)^3 \)

Formule : \( (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \)

\[
C = x^3 + 3x^2(2) + 3x(4) + 8 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8
\]

Réponse : \( C = x^3 + 6x^2 + 12x + 8 \)

 d. \( D = (x - 1)^3 \)

Formule : \( (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \)

\[
D = x^3 - 3x^2(1) + 3x(1) - 1 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1
\]

Réponse : \( D = x^3 - 3x^2 + 3x - 1 \)

 2. Factoriser :

 a. \( F = x^3 + 1 \)

Identité : \( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \)

\[
F = x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)
\]

Réponse : \( F = (x + 1)(x^2 - x + 1) \)

 b. \( G = x^3 - 2\sqrt{2} \)

On reconnaît : \( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \)

 \( b = \sqrt[3]{2\sqrt{2}} \), donc on pose simplement :

\[
G = x^3 - (2\sqrt{2}) = (x - \sqrt[3]{2\sqrt{2}})\left(x^2 + x\sqrt[3]{2\sqrt{2}} + \left(\sqrt[3]{2\sqrt{2}}\right)^2\right)
\]

Réponse : factorisation formelle en racine cubique.  
Sinon, on laisse : \( G = x^3 - 2\sqrt{2} \) (non factorisable simplement avec rationnels).

 c. \( H = x^3 - \dfrac{1}{64} \)

Identité : \( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \)

 \( a = x \), \( b = \dfrac{1}{4} \)

\[
H = \left(x - \dfrac{1}{4}\right)\left(x^2 + \dfrac{1}{4}x + \dfrac{1}{16}\right)
\]

Réponse :  
\[
H = \left(x - \dfrac{1}{4}\right)\left(x^2 + \dfrac{1}{4}x + \dfrac{1}{16}\right)
\]

 1. Développer, réduire et ordonner :

 a. \( f(x) = (2x - 3)^3 - (3x + 1)^2(-2x + 3) \)

Développement de \( (2x - 3)^3 \) :  
Utilisons la formule :  
\[
(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3
\]

Ici, \( a = 2x \), \( b = 3 \) :

\[
(2x - 3)^3 = 8x^3 - 36x^2 + 54x - 27
\]

---

Développement de \( (3x + 1)^2(-2x + 3) \)

D’abord :  
\[
(3x + 1)^2 = 9x^2 + 6x + 1
\]

Ensuite :

\[
(9x^2 + 6x + 1)(-2x + 3)
\]

On développe :

 \( 9x^2(-2x) = -18x^3 \)
 \( 9x^2(3) = 27x^2 \)
 \( 6x(-2x) = -12x^2 \)
 \( 6x(3) = 18x \)
 \( 1(-2x) = -2x \)
 \( 1(3) = 3 \)

Total :  
\[
-18x^3 + 15x^2 + 16x + 3
\]

Donc :

\[
f(x) = (8x^3 - 36x^2 + 54x - 27) - (-18x^3 + 15x^2 + 16x + 3)
\]

On enlève les parenthèses :

\[
f(x) = 8x^3 - 36x^2 + 54x - 27 + 18x^3 - 15x^2 - 16x - 3
\]

On réduit :

\[
(8x^3 + 18x^3) + (-36x^2 - 15x^2) + (54x - 16x) + (-27 - 3)
= 26x^3 - 51x^2 + 38x - 30
\]

Réponse :  
\[
f(x) = 26x^3 - 51x^2 + 38x - 30
\]

 b. \( g(x) = (x + 5)^3 + (x^2 + 3) + (x^2 + 3)(-2x + 7) \)

Développement de \( (x + 5)^3 \) :  
\[
= x^3 + 3x^2(5) + 3x(25) + 125 = x^3 + 15x^2 + 75x + 125
\]

\( (x^2 + 3)(-2x + 7) \) :

 \( x^2(-2x) = -2x^3 \)
 \( x^2(7) = 7x^2 \)
 \( 3(-2x) = -6x \)
 \( 3(7) = 21 \)

Total :
\[
-2x^3 + 7x^2 - 6x + 21
\]

Ajoutons tous les termes :

\[
g(x) = (x^3 + 15x^2 + 75x + 125) + (x^2 + 3) + (-2x^3 + 7x^2 - 6x + 21)
\]

On regroupe :

 \( x^3 - 2x^3 = -x^3 \)
 \( 15x^2 + x^2 + 7x^2 = 23x^2 \)
 \( 75x - 6x = 69x \)
 \( 125 + 3 + 21 = 149 \)

Réponse :
\[
g(x) = -x^3 + 23x^2 + 69x + 149
\]

 2. Factoriser :

 a. \( p(x) = 8x^3 + 125 \)

Reconnaissance d'une somme de cubes :

\[
8x^3 + 125 = (2x)^3 + (5)^3 = (2x + 5)(4x^2 - 10x + 25)
\]

Réponse :  
\[
p(x) = (2x + 5)(4x^2 - 10x + 25)
\]

 b. \( q(x) = 3x^3 - 27 \)

Mettons d’abord \( 3 \) en facteur :

\[
q(x) = 3(x^3 - 9) = 3(x - \sqrt[3]{9})(x^2 + x\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{81})
\]

Réponse (exacte) :  
\[
q(x) = 3(x^3 - 9) \quad \text{ou avec racines cubiques : } 3(x - \sqrt[3]{9})(x^2 + x\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{81})
\]
 

Écrire sans les valeurs absolues

 a.  
\[
a = \left|\left(-1 - \sqrt{3}\right)\left(1 + \sqrt{3}\right)\right|
\]

Commençons par développer le produit :
\[
(-1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3}) = (-1)(1) + (-1)(\sqrt{3}) + (-\sqrt{3})(1) + (-\sqrt{3})(\sqrt{3})
\]

\[
= -1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} - 3 = -1 - 2\sqrt{3} - 3 = -4 - 2\sqrt{3}
\]

Donc :
\[
a = \left| -4 - 2\sqrt{3} \right|
\]

Sachant que \( -4 - 2\sqrt{3} < 0 \), sa valeur absolue est l'opposé :

Réponse :  
\[
a = 4 + 2\sqrt{3}
\]

 b.  
\[
b = \left|\dfrac{2 - \sqrt{5}}{2 + \sqrt{5}}\right|
\]

Ici, la valeur du numérateur est négative car \( \sqrt{5} > 2 \), donc \( 2 - \sqrt{5} < 0 \), alors que le dénominateur est positif.

Donc la fraction est négative, et sa valeur absolue est l’opposée :

\[
b = -\dfrac{2 - \sqrt{5}}{2 + \sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5} - 2}{2 + \sqrt{5}}
\]

Réponse :  
\[
b = \dfrac{\sqrt{5} - 2}{2 + \sqrt{5}}
\]
 

  1. Résoudre dans \( \mathbb{R} \) les équations suivantes :

 a. \( |2x - 4| = -5 \)

Rappel : La valeur absolue d’un réel est toujours positive ou nulle, donc elle ne peut jamais être négative.

Réponse :  
Aucune solution, car \( |2x - 4| = -5 \) est impossible.

 b. \( |x + 2| = 0 \)

Une valeur absolue est nulle uniquement si le contenu est nul.

\[
x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = -2
\]

Réponse : \( x = -2 \)

 c. \( |2x + 3| = 5 \)

Deux cas à envisager :

\[
2x + 3 = 5 \quad \text{ou} \quad 2x + 3 = -5
\]

1. \( 2x + 3 = 5 \Leftrightarrow 2x = 2 \Leftrightarrow x = 1 \)

2. \( 2x + 3 = -5 \Leftrightarrow 2x = -8 \Leftrightarrow x = -4 \)

Réponse : \( x = 1 \) ou \( x = -4 \)

 d. \( |x + 1| = |3x - 1| \)

Deux cas :

Cas 1 :  
\[\begin{array}{rcl}
x + 1 &=& 3x - 1\\ \Leftrightarrow -2x &=& -2 \\\Leftrightarrow x &=& 1\end{array}
\]

Cas 2 :  
\[\begin{array}{rcl}
x + 1 &=& -(3x - 1) \\\Leftrightarrow x + 1 &=& -3x + 1 \\\Leftrightarrow 4x&=& 0 \\\Leftrightarrow x &=& 0\end{array}
\]

Réponse : \( x = 0 \) ou \( x = 1 \)
 

 1. Résoudre dans \( \mathbb{R} \) les équations suivantes :

 a. \( |2x - 5| = 7 \)

Deux cas :

1. \( 2x - 5 = 7 \Leftrightarrow 2x = 12 \Leftrightarrow x = 6 \)

2. \( 2x - 5 = -7 \Leftrightarrow 2x = -2 \Leftrightarrow x = -1 \)

Réponse : \( x = -1 \) ou \( x = 6 \)

 b. \( |2 - 3x| = |x - 3| \)

Deux cas :

Cas 1 :  
\[\begin{array}{rcl}
2 - 3x &=& x - 3 \\\Leftrightarrow -4x &=& -5 \\\Leftrightarrow x &=& \dfrac{5}{4}\end{array}
\]

Cas 2 :  
\[\begin{array}{rcl}
2 - 3x &=& -(x - 3) \\&=& -x + 3 \\\Leftrightarrow -2x &=& 1 \\\Leftrightarrow x &=& -\dfrac{1}{2}\end{array}
\]

Réponse : \( x = \dfrac{5}{4} \) ou \( x = -\dfrac{1}{2} \)

 c. \( |5x + 3| = -10 \)

 Une valeur absolue ne peut pas être négative.

Réponse : Aucune solution

 d. \( (2x - 1)(-2x + 3) = 0 \)

Un produit est nul si l’un des facteurs est nul :

1. \( 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2} \)

2. \( -2x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{2} \)

Réponse : \( x = \dfrac{1}{2} \) ou \( x = \dfrac{3}{2} \)

 e. \( \dfrac{2x - 5}{2 - x} = 0 \)

Un quotient est nul si le numérateur est nul (et le dénominateur non nul) :

1. \( 2x - 5 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{5}{2} \)

2. On vérifie que \( 2 - x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 2 \), donc OK

Réponse : \( x = \dfrac{5}{2} \)

 2. Résoudre dans \( \mathbb{R} \) les inéquations suivantes :

 f. \( |5 - 4x| \leq -3 \)

Une valeur absolue est toujours ≥ 0, donc elle ne peut jamais être ≤ -3.

Réponse : Aucune solution

 b. \( |x - 5| < 3 \)

Cette inéquation signifie que la distance entre \( x \) et 5 est strictement inférieure à 3 :

\[
-3 < x - 5 < 3 \Leftrightarrow 2 < x < 8
\]

Réponse : \( x \in \, ]2\,;\,8[ \)

 c. \( |5x - 2| \leq 0 \)

Une valeur absolue est ≤ 0 uniquement si elle est égale à 0 :

\[
5x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{2}{5}
\]

Réponse : \( x = \dfrac{2}{5} \)

 d. \( 2x - \dfrac{1}{3} \geq \dfrac{x}{5} + \dfrac{2}{5} \)

On commence par tout regrouper :

\[
2x - \dfrac{1}{3} - \dfrac{x}{5} - \dfrac{2}{5} \geq 0
\]

Regroupons les termes :

\[
\left(2x - \dfrac{x}{5}\right) + \left(-\dfrac{1}{3} - \dfrac{2}{5}\right) = \left(\dfrac{10x - x}{5}\right) + \left(-\dfrac{5 + 6}{15}\right) = \dfrac{9x}{5} - \dfrac{11}{15}
\]

Donc :
\[\begin{array}{rcl}
\dfrac{9x}{5} - \dfrac{11}{15} \geq 0 \Leftrightarrow \dfrac{9x}{5} \geq \dfrac{11}{15}
\Leftrightarrow x \geq \dfrac{11}{15} \times \dfrac{5}{9} &=& \dfrac{55}{135} \\&=& \dfrac{11}{27}\end{array}
\]

Réponse : \( x \geq \dfrac{11}{27} \)

 1. Donner le système associé aux intervalles suivants :

 a. \( ]1\,;\,3[ \)

C’est l’intervalle ouvert entre 1 et 3, ce qui signifie :

Système :
\[
\left\{
\begin{array}{l}
x > 1 \\
x < 3
\end{array}
\right.
\]

 b. \( ]-\infty\,;\,1] \)

Intervalle allant jusqu’à 1, inclus :

Système :
\[
x \leq 1
\]

 2. Donner l’intervalle correspondant aux systèmes suivants :

 a. \( \left\{x \in \mathbb{R} \,/\, x \geq 0 \right\} \)

Intervalle :
\[
[0\ ;\ +\infty[
\]

 b. \( \left\{x \in \mathbb{R} \,/\, 2 \leq x < 7 \right\} \)

Intervalle :
\[
[2\ ;\ 7[
\]

Déterminer \( A \cap B \) et \( A \cup B \)

 1.  
\( A = [-1\,;\,7] \quad \text{et} \quad B = \,]0\,;\,3[ \)

- Intersection : Ce sont les valeurs communes → \( ]0\,;\,3[ \)
- Réunion : On prend tout ce qui est dans A ou B → \( [-1\,;\,7] \)

Réponse :  

- \( A \cap B = \,]0\,;\,3[ \)  
- \( A \cup B = [-1\,;\,7] \)

 2.  
\( A = ]-\infty\,;\,0] \quad \text{et} \quad B = [0\,;\,+\infty[ \)

- Intersection : La seule valeur commune est 0 → \( \{0\} \)
- Réunion : Ça couvre tout \( \mathbb{R} \) → \( ]-\infty\,;\,+\infty[ \)

Réponse :  

 \( A \cap B = \{0\} \)  
 \( A \cup B = \mathbb{R} \)

 3.  
\( A = ]-2\,;\,5] \quad \text{et} \quad B = [6\,;\,10] \)

- Intersection : Pas de chevauchement → Ø
- Réunion : On note l’union de deux intervalles disjoints →  
  \( ]-2\,;\,5] \cup [6\,;\,10] \)

Réponse :  

 \( A \cap B = \varnothing \)  
 \( A \cup B = ]-2\,;\,5] \cup [6\,;\,10] \)

 4.  
\( A = ]-\infty\,;\,1] \quad \text{et} \quad B = ]1\,;\,+\infty[ \)

- Intersection : Ils ne se touchent pas (1 n’est dans aucun) → Ø
- Réunion : L’ensemble des réels sauf 1 →  
  \( ]-\infty\,;\,1[ \cup ]1\,;\,+\infty[ = \mathbb{R} \setminus \{1\} \)

Réponse :  

 \( A \cap B = \varnothing \)  
 \( A \cup B = \mathbb{R} \setminus \{1\} \)
 

– Traduire les situations et résoudre

 1. La somme d'un nombre et de \(-3\) vaut 5 ; détermine ce nombre.

La situation nous dit que la somme de x (le nombre recherché) et \(-3\) donne \(5\). Cela se traduit par l’équation :

\[
x - 3 = 5
\]

On résout :

\[
x = 5 + 3 \Leftrightarrow x = 8
\]

Réponse : Le nombre recherché est \( x = 8 \).

 2. La différence de \(4\) et un nombre vaut \(7\), quel est ce nombre ?

La différence entre \(4\) et x (le nombre recherché) donne \(7\). Cela se traduit par l’équation :

\[
4 - x = 7
\]

On résout :

\[
-x = 7 - 4 \Leftrightarrow -x = 3 \Leftrightarrow x = -3
\]

Réponse : Le nombre recherché est \( x = -3 \).

 3. La somme du double d'un nombre avec \(1\) est supérieur ou égale à \(4\).

On dit que la somme du double de x avec \(1\) est supérieure ou égale à \(4\). Cela se traduit par l’inéquation :

\[
2x + 1 \geq 4
\]

On résout :

\[
2x \geq 4 - 1 \Leftrightarrow 2x \geq 3 \Leftrightarrow x \geq \dfrac{3}{2}
\]

Réponse : \( x \geq \dfrac{3}{2} \).

 4. La différence du quadruple d'un nombre avec \(3\) est strictement inférieur à la somme du triple de ce nombre avec \(5\).

La différence du quadruple de x avec \(3\) est inférieure à la somme du triple de x avec \(5\). Cela se traduit par l’inéquation :

\[
4x - 3 < 3x + 5
\]

On résout :

\[
4x - 3x < 5 + 3 \Leftrightarrow x < 8
\]

Réponse : \( x < 8 \).