Corrigé Exercice 7 : Équations et inéquations du 1er degré à une inconnue 3e

 

1) Résolvons dans $\mathbb{R}$ chacune des inéquations : 

 

a) $(3x+1)(1-4x)\geq 0$ 

 

On a : $(3x+1)(1-4x)=0$ si, et seulement si, $3x+1=0\ $ ou $\ 1-4x=0$

 

C'est-à-dire : $x=-\dfrac{1}{3}\ $ ou $\ x=\dfrac{1}{4}$

 

Par suite : 

 

$(3x+1)$ est positif pour tout $x>-\dfrac{1}{3}$ et négatif pour $x<-\dfrac{1}{3}.$

 

Dans l'expression $(1-4x)$, on remarque que le coefficient associé à $x$ est négatif.

 

Donc, $(1-4x)$ est positif pour tout $x<\dfrac{1}{4}$ et négatif pour $x>\dfrac{1}{4}.$

 

En regroupant toutes ces informations dans un tableau de signes, on obtient :

$$\begin{array}{|clclclcr|}\hline x& -\mathrm{\infty }& & -1/3& & 1/4& & +\mathrm{\infty }\\ 3x+1& & -& 0& +& |& +& \\ 1-4x& & +& |& +& 0& -& \\ (3x+1)(1-4x)& & -& 0& \boxed{{\displaystyle +}}& 0& -& \\ \hline\end{array}$$

Ainsi, en observant le tableau, nous constatons que l'expression $(3x+1)(1-4x)$ est supérieure ou égale à zéro lorsque $x$ appartient à l'intervalle $\left[-\dfrac{1}{3}\;;\ \dfrac{1}{4}\right].$ 

 

D'où, l'inéquation $(3x+1)(1-4x)\geq 0$  a pour solution :$$S=[-{\displaystyle \frac{1}{3}};{\displaystyle \frac{1}{4}}]$$

b) $(-5x+3)(2x+3)<0$

 

On a : $(-5x+3)(2x+3)=0$ si, et seulement si, $-5x+3=0\ $ ou $\ 2x+3=0$

 

Ce qui donne : $x=\dfrac{3}{5}\ $ ou $\ x=-\dfrac{3}{2}$

 

Ainsi, on a : 

 

$(2x+3)$ est positif pour tout $x>-\dfrac{3}{2}$ et négatif pour $x<-\dfrac{3}{2}.$

 

Comme dans l'expression $(-5x+3)$, le coefficient associé à $x$ est négatif alors, $(-5x+3)$ est positif pour tout $x<\dfrac{3}{5}$ et négatif pour $x>\dfrac{3}{5}.$

 

En regroupant toutes ces informations dans un tableau de signes, on obtient :

$$\begin{array}{|clclclcr|}\hline x& -\mathrm{\infty }& & -3/2& & 3/5& & +\mathrm{\infty }\\ -5x+3& & +& |& +& 0& -& \\ 2x+3& & -& 0& +& |& +& \\ (-5x+3)(2x+3)& & \boxed{{\displaystyle -}}& 0& +& 0& \boxed{{\displaystyle -}}& \\ \hline\end{array}$$

En observant le tableau, nous constatons que l'expression $(-5x+3)(2x+3)$ est strictement inférieure à zéro lorsque $x$ appartient à l'intervalle $\left]-\infty\;;\ -\dfrac{3}{2}\right[\cup\left]\dfrac{3}{5}\;;\ +\infty\right[.$ 

 

Par conséquent, l'inéquation $(-5x+3)(2x+3)<0$ a pour solution :$$S=]-\mathrm{\infty };-{\displaystyle \frac{3}{2}}[\cup ]{\displaystyle \frac{3}{5}};+\mathrm{\infty }[$$ 

2) On donne $f(x)=5x^{2}-20+(-3x+6)(4x+3)$

 

a) Factorisons l'expression $f(x)$

 

On remarque d'abord que :

 

$$$\begin{array}{rcl}5x^2-20& =& 5x^2-5\times 4\\ \\ & =& 5(x^2-4)\\ \\ & =& 5(x-2)(x+2)\end{array}$$$

 

Donc, $5x^{2}-20=5(x-2)(x+2)$

 

Puis, $(-3x+6)=-3(x-2)$

 

Alors, en remplaçant $5x^{2}-20\ $ et $\ (-3x+6)$ respectivement par $5(x-2)(x+2)\ $ et $\ -3(x-2)$, dans l'expression de $f(x)$, on obtient : 

$$f(x)=5(x-2)(x+2)-3(x-2)(4x+3)$$

Ensuite, en prenant $(x-2)$ comme facteur commun, on trouve :

 

$$$\begin{array}{rcl}f(x)& =& 5(x-2)(x+2)-3(x-2)(4x+3)\\ \\ & =& [(x-2)][5(x+2)-3(4x+3)]\\ \\ & =& (x-2)(5x+10-12x-9)\\ \\ & =& (x-2)(-7x+1)\end{array}$$$

 

D'où, $\boxed{f(x)=(x-2)(-7x+1)}$

 

b) Résolvons dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $f(x)\leq 0$

 

Pour cela, nous utilisons la forme factorisée de $f(x).$

 

D'après le résultat de la question $2)a)$, on a : $f(x)=(x-2)(-7x+1)$

 

Donc, $f(x)\leq 0$ si, et seulement si, $(x-2)(-7x+1)\leq 0.$

 

Alors, on a : $(x-2)(-7x+1)=0$ si, et seulement si, $x-2=0\ $ ou $\ -7x+1=0$

 

Ce qui donne : $x=2\ $ ou $\ x=\dfrac{1}{7}$

 

Par suite : 

 

$(x-2)$ est positif pour tout $x>2$ et négatif pour $x<2.$

 

Dans l'expression $(-7x+1)$, on constate que le coefficient associé à $x$ est négatif.

 

Donc, $(-7x+1)$ est positif pour tout $x<\dfrac{1}{7}$ et négatif pour $x>\dfrac{1}{7}.$

 

En regroupant toutes ces informations dans un tableau de signes, on obtient :

$$\begin{array}{|clclclcr|}\hline x& -\mathrm{\infty }& & 1/7& & 2& & +\mathrm{\infty }\\ x-2& & -& |& -& 0& +& \\ -7x+1& & +& 0& -& |& -& \\ (x-2)(-7x+1)& & \boxed{{\displaystyle -}}& 0& +& 0& \boxed{{\displaystyle -}}& \\ \hline\end{array}$$

Ainsi, en observant le tableau, nous constatons que l'expression $(x-2)(-7x+1)$ est inférieure ou égale à zéro lorsque $x$ appartient à l'intervalle $\left]-\infty\;;\ \dfrac{1}{7}\right]\cup\left[2\;;\ +\infty\right[.$ 

 

D'où, l'inéquation $f(x)\leq 0$ a pour solution :$$S=]-\mathrm{\infty };{\displaystyle \frac{1}{7}}]\cup [2;+\mathrm{\infty }[$$

 

3) Résolvons dans $\mathbb{R}$ chacune des inéquations :

 

a) $\dfrac{6x-1}{-x+4}\geq 0$

 

l'inéquation $\dfrac{6x-1}{-x+4}\geq 0$ existe si, et seulement si, $-x+4\neq 0.$

 

C'est-à-dire ; $x\neq 4.$

 

Déterminons alors le signe du numérateur et du dénominateur de $\dfrac{6x-1}{-x+4}.$

 

On a :

 

$$$\begin{array}{rcl}6x-1=0& \iff & 6x=1\\ \\ & \iff & x={\displaystyle \frac{1}{6}}\end{array}$$$

 

Donc,

 

$(6x-1)$ est positif pour tout $x>\dfrac{1}{6}$ et négatif pour $x<\dfrac{1}{6}.$

 

Comme dans l'expression $(-x+4)$, le coefficient associé à $x$ est négatif alors, $(-x+4)$ est positif pour tout $x<4$ et négatif pour $x>4.$

 

En regroupant toutes ces informations dans un tableau de signes, on obtient :

$$\begin{array}{|clclclcr|}\hline x& -\mathrm{\infty }& & 1/6& & 4& & +\mathrm{\infty }\\ 6x-1& & -& 0& +& |& +& \\ -x+4& & +& |& +& 0& -& \\ {\displaystyle \frac{6x-1}{-x+4}}& & -& 0& \boxed{{\displaystyle +}}& ||& -& \\ \hline\end{array}$$

Ainsi, en observant le tableau, nous remarquons que : pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $\left[\dfrac{1}{6}\;;\ 4\right[$ l'expression $\dfrac{6x-1}{-x+4}$ est supérieure ou égale à zéro.

 

Par conséquent, l'inéquation $\dfrac{6x-1}{-x+4}\geq 0$ a pour solution :$$S=[{\displaystyle \frac{1}{6}};4[$$

b) $\dfrac{x-5}{3x-2}<3$

 

L'inéquation $\dfrac{x-5}{3x-2}<3$ existe si, et seulement si, $3x-2\neq 0.$

 

C'est-à-dire ; $3x\neq 2$

 

Ce qui donne : $x\neq\dfrac{2}{3}$

 

On a :

 

$$$\begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{x-5}{3x-2}}<3& \iff & {\displaystyle \frac{x-5}{3x-2}}-3<0\\ \\ & \iff & {\displaystyle \frac{x-5}{3x-2}}-{\displaystyle \frac{3(3x-2)}{3x-2}}<0\\ \\ & \iff & {\displaystyle \frac{x-5}{3x-2}}-{\displaystyle \frac{9x-6}{3x-2}}<0\\ \\ & \iff & {\displaystyle \frac{x-5-9x+6}{3x-2}}<0\\ \\ & \iff & {\displaystyle \frac{-8x+1}{3x-2}}<0\end{array}$$$

 

Donc, l'inéquation $\dfrac{x-5}{3x-2}<3$ est équivalente à l'inéquation $\dfrac{-8x+1}{3x-2}<0$

 

Ainsi, résoudre l'inéquation $\dfrac{x-5}{3x-2}<3$, revient à résoudre l'inéquation $\dfrac{-8x+1}{3x-2}<0.$

 

Alors, on a :

 

$$$\begin{array}{rcl}-8x+1=0& \iff & -8x=-1\\ \\ & \iff & x={\displaystyle \frac{-1}{-8}}\\ \\ & \iff & x={\displaystyle \frac{1}{8}}\end{array}$$$

 

Comme dans l'expression $(-8x+1)$, le coefficient associé à $x$ est négatif alors, $(-8x+1)$ est positif pour tout $x<\dfrac{1}{8}$ et négatif pour $x>\dfrac{1}{8}.$

 

$(3x-2)$ est positif pour tout $x>\dfrac{2}{3}$ et négatif pour $x<\dfrac{2}{3}.$

 

En regroupant toutes ces informations dans un tableau de signes, on obtient :

$$\begin{array}{|clclclcr|}\hline x& -\mathrm{\infty }& & 1/8& & 2/3& & +\mathrm{\infty }\\ -8x+1& & +& 0& -& |& -& \\ 3x-2& & -& |& -& 0& +& \\ {\displaystyle \frac{-8x+1}{3x-2}}& & \boxed{{\displaystyle -}}& 0& +& ||& \boxed{{\displaystyle -}}& \\ \hline\end{array}$$

Ainsi, en observant le tableau, nous constatons que l'expression $\dfrac{-8x+1}{3x-2}$ est strictement inférieure à zéro lorsque $x$ appartient à l'intervalle $\left]-\infty\;;\ \dfrac{1}{8}\right[\cup\left]\dfrac{2}{3}\;;\ +\infty\right[.$ 

 

Par conséquent, l'inéquation $\dfrac{x-5}{3x-2}<3$ a pour solution :$$S=]-\mathrm{\infty };{\displaystyle \frac{1}{8}}[\cup ]{\displaystyle \frac{2}{3}};+\mathrm{\infty }[$$

c) $\dfrac{3x-2}{x}\geq 0$

 

L'inéquation $\dfrac{3x-2}{x}\geq 0$ existe si, et seulement si, $x\neq 0.$

 

On a :

 

$$$\begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{3x-2}{x}}=0& \iff & 3x-2=0\\ \\ & \iff & 3x=2\\ \\ & \iff & x={\displaystyle \frac{2}{3}}\end{array}$$$

 

Donc, $(3x-2)$ est positif pour tout $x>\dfrac{2}{3}$ et négatif pour $x<\dfrac{2}{3}.$

 

Considérons alors le tableau de signes suivant :

$$\begin{array}{|clclclcr|}\hline x& -\mathrm{\infty }& & 0& & 2/3& & +\mathrm{\infty }\\ 3x-2& & -& |& -& 0& +& \\ x& & -& 0& +& |& +& \\ {\displaystyle \frac{3x-2}{x}}& & -& ||& \boxed{{\displaystyle +}}& 0& -& \\ \hline\end{array}$$

Ainsi, en observant le tableau, nous constatons que l'expression $\dfrac{3x-2}{x}$ est supérieure ou égale à zéro lorsque $x$ appartient à l'intervalle $\left]0\;;\ \dfrac{2}{3}\right].$ 

 

D'où, l'inéquation $\dfrac{3x-2}{x}\geq 0$ a pour solution :$$S=]0;{\displaystyle \frac{2}{3}}]$$