BAC S COMPLEXE Etranger_juin2010

Dans le plan complexe $(\mathcal{P})$ muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique 4~cm, on considère le point A d'affixe $a = - 1$ et l'application $f$, du plan $(\mathcal{P})$ dans lui·même, qui
au point $M$ d'affixe $z$, distinct de A, associe le point $M' = f(M)$ d'affixe $z'$ tel que :

$$z' =\dfrac{\text{i}z}{z + 1}.$$

Déterminer l'affixe des points $M$ tels que $M' = M$.
Démontrer que pour tout point $M$ distinct de A et de O, on a :

$$\text{O}M' = \dfrac{\text{O}M}{\text{A}M}~\text{et}~ \left(\overrightarrow{u},~\overrightarrow{\text{O}M'}\right) = \left(\overrightarrow{M\text{A}},~\overrightarrow{M\text{O}}\right) + \dfrac{\pi}{2}~\text{\`a}~2\pi~\text{pr\`es}.$$

Soit B le point d'affixe $b = - \dfrac{1}{2} + \text{i}$.

Placer dans le repère le point B et la médiatrice ($\Delta$) du segment [OA].
Calculer sous forme algébrique l'affixe $b'$ du point B$'$ image du point B par $f$.

Établir que B$'$ appartient au cercle $(\mathcal{C})$ de centre O et de rayon 1.

Placer le point B$'$ et tracer le cercle $(\mathcal{C})$ dans le repère.
En utilisant la question 2, démontrer que, si un point $M$ appartient à la médiatrice ($\Delta$), son image $M'$ par $f$ appartient au cercle $(\mathcal{C})$.
Soit C le point tel que le triangle AOC soit équilatéral direct.

En s'aidant des résultats de la question 2, construire, à la règle et au compas, l'image du point C par $f$ (On laissera apparents les traits de construction.)

Dans cette question, on se propose de déterminer, par deux méthodes différentes, l'ensemble ($\Gamma$) des points $M$ distincts de A et de O dont l'image $M'$ par $f$ appartient à l'axe des abscisses.

Les questions a. et b. peuvent être traitées de façon indépendante.

On pose $z = x + \text{i}y$ avec $x$ et $y$ réels tels que $(x,~y) \neq (-1,~0)$ et $(x,~y) \neq (0,~0)$.

Démontrer que la partie imaginaire de $z'$ est égale à :

$$\text{Im}\left(z'\right) = \dfrac{x^2 + y^2 + x}{(x + 1)^2 + y^2}$$

En déduire la nature et les éléments caractéristiques de l'ensemble ($\Gamma$) et le tracer dans le repère.
À l'aide de la question 2, retrouver géométriquement la nature de l'ensemble ($\Gamma$).