BAC S COMPLEXE Etranger_juin2010

Dans le plan complexe (P) muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique 4~cm, on considère le point A d'affixe a=1 et l'application f, du plan (P) dans lui·même, qui
au point M d'affixe z, distinct de A, associe le point M=f(M) d'affixe z tel que :

z=izz+1.

Déterminer l'affixe des points M tels que M=M.
Démontrer que pour tout point M distinct de A et de O, on a :

OM=OMAM et (u, OM)=(MA, MO)+π2 \`a 2π pr\`es.

Soit B le point d'affixe b=12+i.

Placer dans le repère le point B et la médiatrice (Δ) du segment [OA].
Calculer sous forme algébrique l'affixe b du point B image du point B par f.

Établir que B appartient au cercle (C) de centre O et de rayon 1.

Placer le point B et tracer le cercle (C) dans le repère.
En utilisant la question 2, démontrer que, si un point M appartient à la médiatrice (Δ), son image M par f appartient au cercle (C).
Soit C le point tel que le triangle AOC soit équilatéral direct.

En s'aidant des résultats de la question 2, construire, à la règle et au compas, l'image du point C par f (On laissera apparents les traits de construction.)

Dans cette question, on se propose de déterminer, par deux méthodes différentes, l'ensemble (Γ) des points M distincts de A et de O dont l'image M par f appartient à l'axe des abscisses.

Les questions a. et b. peuvent être traitées de façon indépendante.

On pose z=x+iy avec x et y réels tels que (x, y)(1, 0) et (x, y)(0, 0).

Démontrer que la partie imaginaire de z est égale à :

Im(z)=x2+y2+x(x+1)2+y2

En déduire la nature et les éléments caractéristiques de l'ensemble (Γ) et le tracer dans le repère.
À l'aide de la question 2, retrouver géométriquement la nature de l'ensemble (Γ).

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