BAC S COMPLEXE Metropole juin 2010

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct \Ouv, on considère le point A d'affixe 2 et le cercle C de centre O passant par A.

Dans tout l'exercice on note α le nombre complexe α=1+i3 et ¯α le nombre complexe conjugué du nombre complexe α.

Démontrer que α24α=2¯α8.
Démontrer que les points B et C d'affixes respectives α et ¯α appartiennent au cercle C.

Soit D un point du cercle C d'affixe 2eiθθ est un nombre réel de l'intervalle ]π ; π].

Construire sur la figure donnée en annexe 2 (à rendre avec la copie) le point E image du point D par la rotation r de centre O et d'angle π3.
Justifier que le point E a pour affixe zE=αeiθ.

Soient F et G les milieux respectifs des segments [BD] et [CE].

Justifier que le point F a pour affixe zF=α2+eiθ.
On admet que le point G a pour affixe zG=αeiθ+¯α2.

Démontrer que zG2zF2=α2. On pourra utiliser la question 1. a.

En déduire que le triangle AFG est équilatéral.

{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

À l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique, on conjecture qu'il existe une position du point D, défini à la question 2, pour laquelle la longueur du coté AF du triangle AFG est minimale.

On admet que AF2=43Cosθ+3sinθ.

On considère la fonction f définie sur l'intervalle [π ; +π] par f(x)=43Cosx+3sinx.

Le tableau ci-dessous donne les variations de la fonction f sur l'intervalle [π ; +π]. Compléter ce tableau de variations. Permet-il de valider la conjecture ? Justifier.

\begin{center}  \psset{unit=1cm}  \begin{pspicture}(8.5,3)  \psframe(8.5,3) \psline(0,2)(8.5,2)\psline(1,0)(1,3)  \uput[u](0.5,2){$x$} \uput[u](1.2,2){$-\pi$} \uput[u](6,2){$\dfrac{5\pi}{6}$} \uput[u](3.5,2){$-\dfrac{\pi}{6}$} \uput[u](8.3,2){$\pi$}  \rput(0.5,1){$f$}  \psline{->}(1.5,1.8)(3.3,0.4)\psline{->}(3.8,0.4)(5.7,1.8)\psline{->}(6.3,1.8)(8.2,0.4)  \end{pspicture}  \end{center}

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