Corrigé Exercice 35 : Racine carrée 3e

Classe: 
Troisième
 

Exercice 35

ABCD  et  CHIJ sont des carrés de côtés respectifs : 5√3−1  et  √27. (Voir figure ci-dessous)
 

1) Calculons l'aire du carré ABCD.

L'aire A(ABCD) est donnée par :
A(ABCD)=(côté)2
Comme son côté est de longueur 5√3−1 alors, on a :

$A(ABCD)=(côté)2=(5√3−1)2=(5√3)2−2×1×5√3+(1)2=(25×3)−10√3+1=75−10√3+1=76−10√3$

Ainsi, A(ABCD)=76−10√3

2) Calculons l'aire du carré CHIJ.

L'aire A(CHIJ) est donnée par :
A(ABCD)=(côté)2
Or, le côté de ce carré a pour longueur √27 donc, on a :

$A(CHIJ)=(côté)2=(√27)2=27$

D'où, A(CHIJ)=27

3) Calculons la longueur AE.

On a : AE=AB−EB

En observant la figure, on remarque que EB=IJ=√27

De plus, on sait que AB=5√3−1

Donc, en remplaçant AB par 5√3−1  et  EB par √27, on obtient :

$AE=AB−EB=5√3−1−√27=5√3−1−√9×3=5√3−1−√9×√3=5√3−1−3√3=2√3−1$

Ainsi, AE=2√3−1

4) Calculons le périmètre du rectangle CDFJ.

Le périmètre P(CDFJ) du rectangle CDFJ est donné par :
P(CDFJ)=2×(CD+CJ)
Comme CD=5√3−1  et  CJ=√27 alors, on a :

$P(CDFJ)=2×(CD+CJ)=2×(5√3−1+√27)=2×(5√3−1+√9×3)=2×(5√3−1+√9×√3)=2×(5√3−1+3√3)=2×(8√3−1)=16√3−2$

D'où, P(CDFJ)=16√3−2

5) Calculons l'aire de la surface coloriée.

En observant la figure, on remarque l'aire de la surface coloriée est égale à la différence entre l'aire du carré ABCD et celle du carré CHIJ.

Ainsi, on a :

$A(partie coloriée)=A(ABCD)−A(CHIJ)=76−10√3−27=49−10√3$

D'où, A(partie coloriée)=49−10√3

 

Auteur: 
Diny Faye

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