Corrigé Exercice 22 : Racine carrée 3e

 

1) Comparons en justifiant :
$${\displaystyle \frac{-2\sqrt{3}}{3}}\text{ et }{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{7}}$$
On remarque que $\dfrac{-2\sqrt{3}}{3}<0\ $ et $\ \dfrac{\sqrt{2}}{7}>0.$

Or, on sait que tout nombre positif est supérieur à tout nombre négatif.

Donc, $\boxed{\dfrac{\sqrt{2}}{7}>\dfrac{-2\sqrt{3}}{3}}$
$$\sqrt{7}+4\text{ et }\sqrt{7}-1$$
En faisant la différence entre ces deux nombres, on trouve :

$$$\begin{array}{rcl}(\sqrt{7}+4)-(\sqrt{7}-1)& =& \sqrt{7}+4-\sqrt{7}+1\\ \\ & =& 5\end{array}$$$

On constate que cette différence est un nombre positif.

Ce qui signifie que : $\boxed{\sqrt{7}+4>\sqrt{7}-1}$
$$2\sqrt{2}-1\text{ et }3-\sqrt{2}$$
En faisant la différence entre ces deux nombres, on obtient :

$$$\begin{array}{rcl}(2\sqrt{2}-1)-(3-\sqrt{2})& =& 2\sqrt{2}-1-3+\sqrt{2}\\ \\ & =& 3\sqrt{2}-4\end{array}$$$

Donc, cette différence est égale à $3\sqrt{2}-4.$

Cherchons alors le signe de $3\sqrt{2}-4.$

On a : $4>0\ $ et $\ 3\sqrt{2}>0$

Alors, $(4)^{2}=16\ $ et $\ (3\sqrt{2})^{2}=18$

Comme $18$ est plus grand que $16$ alors, $3\sqrt{2}>4.$

D'où, $3\sqrt{2}-4>0$

Ce qui signifie que la différence $(2\sqrt{2}-1)-(3-\sqrt{2})$ est positive.

Par conséquent, $\boxed{2\sqrt{2}-1>3-\sqrt{2}}$
$$\sqrt{9+4\sqrt{5}}\text{ et }\sqrt{9-4\sqrt{5}}$$
Comme ces deux nombres sont positifs alors, comparons leur carré.

On a : $\left((\sqrt{9+4\sqrt{5}}\right)^{2}=9+4\sqrt{5}\ $ et $\ \left(\sqrt{9-4\sqrt{5}}\right)^{2}=9-4\sqrt{5}$

Alors, en faisant la différence entre les carrés de ces deux nombres, on obtient :

$$$\begin{array}{rcl}{((\sqrt{9+4\sqrt{5}})}^2-{\left(\sqrt{9-4\sqrt{5}}\right)}^2& =& (9+4\sqrt{5})-(9-4\sqrt{5})\\ \\ & =& 9+4\sqrt{5}-9+4\sqrt{5}\\ \\ & =& 8\sqrt{5}\end{array}$$$

Donc, cette différence est égale à $8\sqrt{5}$ qui est un nombre positif.

Ce qui signifie que : $\left((\sqrt{9+4\sqrt{5}}\right)^{2}$ est plus grand que $\left(\sqrt{9-4\sqrt{5}}\right)^{2}$

D'où, $\boxed{\sqrt{9+4\sqrt{5}}>\sqrt{9-4\sqrt{5}}}$

2) Écrivons plus simplement :

Soit le nombre $\sqrt{2^{2}\times 4^{2}\times 3^{2}\times 5^{2}}$

Alors, on a :

$$$\begin{array}{rcl}\sqrt{2^2\times 4^2\times 3^2\times 5^2}& =& \sqrt{(2\times 4\times 3\times 5{)}^2}\\ \\ & =& 2\times 4\times 3\times 5\\ \\ & =& 120\end{array}$$$

D'où, $\boxed{\sqrt{2^{2}\times 4^{2}\times 3^{2}\times 5^{2}}=120}$

Soit le nombre $\sqrt{7^{2}\times 2^{2}\times 5^{3}\times 3^{8}}$

Alors, on a :

$$$\begin{array}{rcl}\sqrt{7^2\times 2^2\times 5^3\times 3^8}& =& \sqrt{7^2\times 2^2\times 5^2\times 5\times (3^4{)}^2}\\ \\ & =& \sqrt{(7\times 2\times 5\times 3^4{)}^2\times 5}\\ \\ & =& \sqrt{(7\times 2\times 5\times 3^4{)}^2}\times \sqrt{5}\\ \\ & =& 7\times 2\times 5\times 3^4\sqrt{5}\\ \\ & =& 5670\sqrt{5}\end{array}$$$

Ainsi, $\boxed{\sqrt{7^{2}\times 2^{2}\times 5^{3}\times 3^{8}}=5\,670\sqrt{5}}$

Soit le nombre $\sqrt{36^{2}\times b^{5}\times c^{4}\times a^{-2}}$ avec $a>0\ $ et $\ b\geq 0$

Alors, on a :

$$$\begin{array}{rcl}\sqrt{{36}^2\times b^5\times c^4\times a^{-2}}& =& \sqrt{{36}^2\times b^4\times b\times (c^2{)}^2\times {\displaystyle \frac{1}{a^2}}}\\ \\ & =& \sqrt{{\displaystyle \frac{{36}^2\times (b^2{)}^2\times b\times (c^2{)}^2}{a^2}}}\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{\sqrt{(36\times b^2\times c^2{)}^2\times b}}{\sqrt{a^2}}}\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{\sqrt{(36\times b^2\times c^2{)}^2}\times \sqrt{b}}{|a|}}\text{or, }|a|=a\text{car }a>0\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{36\times b^2\times c^2\times \sqrt{b}}{a}}\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{(6bc{)}^2\sqrt{b}}{a}}\end{array}$$$

D'où, $\boxed{\sqrt{36^{2}\times b^{5}\times c^{4}\times a^{-2}}=\dfrac{(6bc)^{2}\sqrt{b}}{a}}$

Soit le nombre $\sqrt{4+\sqrt{29-\sqrt{14+\sqrt{3+\sqrt{1}}}}}$

Alors, en calculant de la droite vers la gauche, on obtient :

$$$\begin{array}{rcl}\sqrt{4+\sqrt{29-\sqrt{14+\sqrt{3+\sqrt{1}}}}}& =& \sqrt{4+\sqrt{29-\sqrt{14+\sqrt{3+1}}}}\\ \\ & =& \sqrt{4+\sqrt{29-\sqrt{14+\sqrt{4}}}}\\ \\ & =& \sqrt{4+\sqrt{29-\sqrt{14+2}}}\\ \\ & =& \sqrt{4+\sqrt{29-\sqrt{16}}}\\ \\ & =& \sqrt{4+\sqrt{29-4}}\\ \\ & =& \sqrt{4+\sqrt{25}}\\ \\ & =& \sqrt{4+5}\\ \\ & =& \sqrt{9}\\ \\ & =& 3\end{array}$$$

Ainsi, $\boxed{\sqrt{4+\sqrt{29-\sqrt{14+\sqrt{3+\sqrt{1}}}}}=3}$

Soit le nombre $\dfrac{1}{4}\sqrt{13+\sqrt{\dfrac{15}{2}+3\sqrt{\dfrac{1}{4}}}}$

En calculant de la droite vers la gauche, on obtient :

$$$\begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{1}{4}}\sqrt{13+\sqrt{{\displaystyle \frac{15}{2}}+3\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{4}}}}}& =& {\displaystyle \frac{1}{4}}\sqrt{13+\sqrt{{\displaystyle \frac{15}{2}}+3\times {\displaystyle \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}}}}\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{1}{4}}\sqrt{13+\sqrt{{\displaystyle \frac{15}{2}}+3\times {\displaystyle \frac{1}{2}}}}\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{1}{4}}\sqrt{13+\sqrt{{\displaystyle \frac{15}{2}}+{\displaystyle \frac{3}{2}}}}\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{1}{4}}\sqrt{13+\sqrt{{\displaystyle \frac{18}{2}}}}\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{1}{4}}\sqrt{13+\sqrt{9}}\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{1}{4}}\sqrt{13+3}\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{1}{4}}\sqrt{16}\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{1}{4}}\times 4\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{4}{4}}\\ \\ & =& 1\end{array}$$$

D'où, $\boxed{\dfrac{1}{4}\sqrt{13+\sqrt{\dfrac{15}{2}+3\sqrt{\dfrac{1}{4}}}}=1}$