BAC S COMPLEXE Polynésie septembre 2010

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$ (unité : 1~cm).

On fera une figure que l'on complétera au fur et à mesure des questions.

On considère les points A, B, S et $\Omega$ d'affixes respectives $a = -2 + 4\text{i},~b = -4 + 2\text{i},$

$s = -5 + 5\text{i}$ et $\omega = -2 + 2\text{i}$.

Soit $h$ l'homothétie de centre S et de rapport $3$.

On appelle C l'image du point A par $h$ et D l'image du point B par $h$.

Déterminer l'écriture complexe de $h$.
Démontrer que le point C a pour affixe $c = 4 + 2\text{i}$ et que le point D a pour affixe $d=-2-4\text{i}$.
Démontrer que les points A, B, C et D sont sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.
Démontrer que la droite (S$\Omega$) est la médiatrice du segment [AB].

Soit P le milieu du segment [AC].

Déterminer l'affixe $p$ du point P.
Démontrer que $\dfrac{\omega - p}{d - b} = - \dfrac{1}{2}\text{i}$. En déduire une mesure de l'angle $\left(\overrightarrow{\text{BD}}~;~\overrightarrow{\text{P}\Omega}\right)$.

Soit Q le milieu du segment [BD].

Que représente le point $\Omega$ pour le triangle PQS ?