Série d'exercice Fonction ln et Expo - Tl
Exercice 1
on considère le polynôme $P$ défini par $P(x)=2x^{3}-9x^{2}+x+12.$
1. Calculer $P(-1)$
2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $P(x)=0$
3. En déduire les solutions des équations :
$2(\ln x)^{3}-9(\ln x)^{2}+\ln x+12=0.$
$2\mathrm{e}^{3x}-9\mathrm{e}^{2x}+\mathrm{e}^{x}+12=0$
Exercice 2
1. Soit $P(x)=x^{3}-9x^{2}-x+9$
Calculer $(-1)$ puis résoudre l'équation $P(x)=0$
2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :
a. $(\ln x)^{3}-9(\ln x)^{2}-\ln x+9=0$ ;
b. $\dfrac{\mathrm{e}^{2x}+9\mathrm{r}^{-x}}{9\mathrm{e}^{x}+1}=1.$
Exercice 3
1. soit $P(x)=2x^{3}-13x^{2}-10x+21.$
Calculer $P(1)$ puis factoriser $P(x)$
2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :
a. $2(\ln x)^{3}-13(\ln x)^{2}-10\ln x+21=0$
b. $\dfrac{\mathrm{e}^{2x}+9\mathrm{e}^{-x}}{9\mathrm{e}^{x}+1}=1$
Exercice 4
1. Soit $P(x)=2x^{3}-13x^{2}-10x+21$
Calculer $P(1)$ puis factoriser $P(x)$
2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :
a. $2(\ln x)^{3}-13(\ln x)^{2}-10\ln x+21=0$
b. $10+13\mathrm{e}^{x}-2\mathrm{e}^{2x}=21\mathrm{e}^{x}$
Exercice 5
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes :
a. $\mathrm{e}^{2x-1}>1$ ;
b. $\mathrm{e}^{x^{2-3}}>\mathrm{e}^{2x}$ ;
c. $2\mathrm{e}^{x}-5+2\mathrm{e}^{-x}>0$ ;
d. $\mathrm{e}^{2x}+2\mathrm{e}^{x}-3\leq 0$
Exercice 6
1. Résoudre dans $\mathbb{R}^{2}$ le système :
$\left\lbrace\begin{array}{lcl} &+y&=&9\\ \ln x+\ln y&=&\ln84 \end{array}\right.$
2. Montrer que $x+y-\dfrac{15}{2}\left(x-\dfrac{1}{2}\right)+(y-7)$
3. En utilisant les questions $1$ et $2$ résoudre dans $\mathbb{R}^{2}$
$\left\lbrace\begin{array}{lcl} x+y-\dfrac{15}{2}&=&19\\ \ln\left(x-\dfrac{1}{2}\right)+\ln(y-7)&=&\ln84 \end{array}$
Exercice 7
1. Résoudre dans $\mathbb{R}^{2}$ les systèmes suivantes:
1. $\left\lbrace\begin{array}{lcl} 2\ln x+\ln y&=&7\\ 3\ln x-5\ln y&=&4 \end{array}\right.$
2. $\left\lbrace\begin{array}{lcl} -2 x+y&=&5\\ \ln(-x)+\ln(-y)&=&\ln 3 \end{array}\right.$
3. $\left\lbrace\begin{array}{lcl} 2\mathrm{e}^{x}+3\mathrm{e}^{y}&=&1\\ \mathrm{e}^{x}-5\mathrm{e}^{y}&=&7 \end{array}\right.$
4. $\left\lbrace\begin{array}{lcl} -\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{y}&=&3\\ \mathrm{e}^{-x}+\mathrm{e}^{-y}&=&\dfrac{3}{2} \end{array}\right.$
5. $\left\lbrace\begin{array}{lcl} x+y&=&7\\ \ln x+\ln y&=&2\ln 2+\ln 3 \end{array}\right.$
6. $\left\rbrace\begin{array}{lcl}\mathrm{e}^{x}\times\mathrm{e}^{2y}&=&1\\ \mathrm{e}^{x+2}\times\mathrm{e}^{y}&=&\mathrm{e} \end{array}\right.$
Exercice 8
$\begin{array}{lcl} \text{Soit }f\ :\ \mathbb{R}&\mapsto&\mathbb{R}\\ x&\mapsto&\ln\left[\dfrac{3(x+2}{x-2}\right] \end{array}\right.$
1. Déterminer l'ensemble de définition de $f.$
2. Étudier les limites aux bornes des intervalles de $D_{f}$ et préciser les asymptotes de $\left(\mathcal{C}_{f}\right).$
3. Montrer que $\Omega(0\;,\ \ln 3)$ est centre de symétrie pour $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$
4. Dresser le tableau de variations $f$
5. Montrer que $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ rencontre l'axe des abscisses en un point $A$ dont on donnera le coordonnées.
6. Donner l'équation de la tangente à $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ en $A$
7. $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ rencontre-elle l'axe des ordonnées ? justifier la réponse.
8. En prenant pour unité $1\,cm$, construire les asymptotes, les points $\Omega$ et $A$, la tangente en $A$ et la courbe $\lef\mathbf{C}_{f}\right)$
Exercice 9
Soit $f(x)=\dfrac{1}{\mathrm{e}^{x}-2}$
1. Déterminer $\mathcal{D}_{f}$, les limites de $f$ aux bornes de $D_{f}$ et les asymptotes de $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$
2. Calculer $f^{'}(x)$ et étudier les variations de $f$
3. Écrire l'équation de la tangente $(T)$ à $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ au point d'abscisse zéro.
4. Résoudre l'équation $f(x)=2$, qu'en déduire ?
5. Montrer que $I\left(\ln2\;,\ -\dfrac{1}{2}\right)$ est centre de symétrie de la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$
6. Tracer $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$
On donne
$\ln2\approx 0.7$ ;
$\mathrm{e}^{-2}\approx 0.14$ ;
$\mathrm{e}^{-1}\approx 0.37$ ;
$\mathbb{e}^{0.5}\approx 1.6$ ;
$\mathrm{e}^{1}\approx 2.7$ ;
$\mathrm{e}^{2}\approx 7.4$
Exercice 10
Soit $f\ :\ x\longrightarrow x-2-\dfrac{4}{\mathrm{e}^{x}-1}$
1. Déterminer $D_{f}$
b. montrer que $f$ est impaire.
Que peut-on en déduire pour la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$
2. a. Étudier le signe de $\mathrm{e}^{x}-1.$
Calculer
$\lim\limits_{x\longrightarrow\;0^{+}}\;(fx)$
et $\lim\limits_{x\longrightarrow\;0^{-}}\;f(x)$
Interpréter graphiquement ces résultats.
b. Déterminer les autres limites aux bornes de $\mathcal{D}_{f}$
3.a. Montrer que la droite $(D)$ d'équation $y=x-2$ est asymptote à $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ en $+\infty$
b. Montrer que l'équation la droite $(\Delta)$ d'équation $y=x+2$ est asymptotes à $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ en $-\infty$
4. Calculer $f'(x)$ et donner sont tableau de variations.
5. Calculer à $10^{-2}$ près par défaut $f(0.5)$, $f(1)$, $f(2)$ et $f(3)$
6. Tracer dans un repère orthonormal $\left(O\;,\ \vec{i}\ \vec{j}\right)$ les droites $(\mathcal{D})$ et $\Delta$ et la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$
Unité= $1\,cm$
Exercice 11
Soit $f(x)=x\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{x}+1$
1. Déterminer $\left(\mathcal{D}_{f}\right)$, les limites de $f$ aux bornes de $\left(\mathcal{D}_{f}\right)$ et les asymptotes de la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$
2. Étudier les variations de $f$
3. Déterminer le point $A$ d'intersection avec la droite $y=1$
Donner une équation de la tangente en $A$ à $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$
4. Soit $B$ le point de $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ d'abscisse $-1$
Déterminer une équation de la tangentes en $B$ à $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$
Tracer dans un repère orthonormé les tangentes en $A$ et en $B$, les asymptotes $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$
Exercice 12
Soit $f(x)=\dfrac{3\mathrm{e}^{x}-2}{\mathrm{e}^{x}-1}$
1. Déterminer $\left(\mathcal{D}_{f}\right)$ et vérifier que $f(x)=3+\dfrac{1}{\mathrm{e}^{x}-1}\;,\ \forall\;x\in\mathcal{D}_{f}$
2 Déterminer les limites aux bornes de son ensemble de définition et les asymptotes de $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$
3. Étudier les variations de $f.$
4. La courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ coupe l'axe des abscisses en un point $A$ : déterminer les coordonnées de $A$ puis une équation de la tangente en $A$ à $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$
5. Démonter qu'il existe un deuxième point $B$ (dont on déterminera les coordonnées) où la tangente est parallèle à la tangente en $A.$
6. Montrer que $\Omega\left(O\,;\ \dfrac{5}{2}\right)$ est centre de symétrie pour $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$
7. Construire avec soin la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ dans un repère orthonormé $\left(O\,;\ \vec{i}\,;\ \vec{j}\right)$
Exercice 13
1. Développer $P(x)=\left(4x^{2}-1\right)\left(x^{2}-9\right)$, réduire et ordonner ce polynôme suivant les puissances décroissantes de $x$
2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :
a. $4\left(\ln x\right)^{4}-37\left(\ln x\right)^{2}+9=0$
b. $4\mathrm{e}^{4x}-37\mathrm{e}^{2x}+9=0$
Exercice 14
1. Soit $P(x)=x^{3}-x^{2}-14x+24$
Calculer $P(2)$ puis faction $P(x)$ en polynômes du $1^{er}$ degré
2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes
a. $\2\ln x+\ln(x-1)=\ln(14x-24)$ ;
b. $\mathrm{e}^{2x}-\mathrm{e}^{x}24\mathrm{e}-x+14=0$
Exercice 15
Soit $f(x)=\dfrac{2\mathrm{e}^{x}-2}{\mathrm{e}^{x}+2}$
1. Déterminer $\left(\mathcal{D}_{f}\right)$, les limites de $f$ aux bornes de $\left(\mathcal{D}_{f}\right)$ ainsi les asymptotes de $\left(\mathcal{C}_{f}\right$
2. Calculer $f'(x)$ puis donner son signe et donner le tableau de variations $f$
3. Montrer que $f$ définit une bijection de $\mathbb{R}$ sur une intervalle $J$ à déterminer.
4. Donner une équation de la tangente $(\mathcal{T})$ à $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ au point d'abscisse zéro.
5.a. Montrer que le point $I\left(\ln 2\;,\ \dfrac{1}{2}\right)$ est une centre de symétrie pour $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$
b. Donner une équation de la tangente à $\mathcal{C}_{f}$ en $I$
6. Calculer $f(-2)\ ;\ f(-1)\ ;\ (x)(1)\ ;\ f(2)\ ;\ f(3)$ à $10^{-2}$ près.
7. Construire $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ dans un repère orthonormé $\left(O\;,\ \vec{i}\,;\ \vec{j}\right).$
On tracera aussi les deux tangentes.
8.a. Vérifier que $\forall\;x\in\mathcal{D}_{f}$ ;
$f(x)=-1+\dfrac{3\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}+2}$
b. En déduire une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$
c. Calculer en $cm^{2}$ la surface exacte $\mathrm{e}$ l'aire $\Phi$ du domaine délimité par les droites d'équation $x=0$ et $x=2$, l'axe des abscisses et la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ donner la valeur approchée de $\phi$ à $10^{-2}$ près.
On donne :
$\mathrm{e}\approx 2.72$ ;
$\mathrm{e}^{e}\approx 7.39$ ;
$\mathrm{e}^{3}\approx 20.09$ ;
$\mathrm{e}^{-1}\approx 0.36$ ;
$\mathrm{e}^{-2}\approx0.14$ ;
$\ln\approx 0.-9$
Exercice 15
Soit $f(x)=\dfrac{-2\mathrm{e}^{x}+4}{\mathrm{e}^{x}-1}$ et $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\left(O\;,\ \vec{i}\,;\ \vec{j}\right)$ du plan.
1. Déterminer $\left(\mathcal{D}_{f}\right)$ (l'écris sous forme e réunion d'intervalles).
2. Déterminer les limites de $f$ aux de $\mathcal{D}$ et les asymptotes de $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$
3. étudier les variations de $f$ et donner son tableau de variations.
4.a. Déterminer les coordonnées du point $A$ d'intersection de $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ avec l'axe des abscisses.
b. Donner une équation de la tangente en $a$ à $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$
5. Résoudre l'équation $f'(x)=-4.$
En déduire les coordonnées du point $B$ de $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ où la tangente que parallèle à la tangente en $A$
6. Montrer que $I\left(0\;,\ -3\right)$ est centre de symétrie pour $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$
7. Tracer $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ ainsi que la en $A$ dans un repère $\left(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}\right)$
8.a. Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $\forall\;x\in\mathcal{D}_{f}\;,\ f(x)=a+\dfrac{c\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}-1}$
b. En déduire une primitive $F$ de $f$ sur $]0\;,\ +\infty[$
c. On désigne par $\mathcal{D}$ le domaine délimité par $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=2$ et $x=4.$
Hauteur $\mathcal{D}$ sur la figure.
Montrer que la valeur exacte de l'aire de $\mathcal{d}$, en $cm^{2}$, est égale à $8-2\ln\left(\mathrm{e}^{2}+1\right)$
Exercice 16
Soit $f(x)=\dfrac{1-2\mathrm{e}^{2}}{1+\mathrm{e}^{x}}$ et $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\left(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}\right)$
1. Déterminer $\left(\mathcal{D}_{f}\right)$
2. Déterminer $\lim\limits_{x\longrightarrow\;-\infty}\;f(x)$ et $\lim\limits_{x\longrightarrow\;+\infty}\;f(x)$
3. Calculer $f'(x)$ et déterminer son signe
4. Déterminer le tableau de variation de $f$
5.a Montrer que $I\left(0\;,\ \dfrac{1}{2}\right)$ est un centre de symétrie pour $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$
b. Résoudre dan s$\mathbb{R}$ l'équation $2\mathrm{e}^{2x}-5\mathrm{e}^{x}+2=0$
c. Déterminer l'équation de la tangente à $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ au point d'abscisse $x_{0}=2$
$\left(\text{soit }\mathcal{T}\text{ cette tangente}\right)$
6. Tracer $\mathcal{T}$ et construire $\left(\mathcal{C}_{f}\right).$
Unité graphique : $4\,cm$
7.a. Vérifier que : $\forall\;x\in\mathbb{R}\;,\ f(x)=1-\dfrac{3\mathrm{e}^{x}}{1+\mathrm{e}^{x}}$
b. En déduire les primitives de $f$ sur $\mathbb{R}$
c. Déterminer l'air en $cm^{2}$ du domaine du plan délimité par $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$, l'axe des abscisses,l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x=\ln 3 $
Exercice 17 (D'après épreuve de 2001, TL2 épreuve 1er groupe)
Soit $f(x)=x-2+\dfrac{1}{\mathrm{e}^{x}}$ et $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé $\left(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}\right).$
L'unité de longueur est $2\,cm$
1.a. Calculer
$\lim\limits_{x\longrightarrow\;+\infty}\;f(x).$
On admet que $\lim\limits_{x\longrightarrow\;-\infty}\;f(x)=+\infty$
b. Vérifier que : $\forall\;x\in\mathbb{R}^{\ast}\;,\ f(x)=x\left(1-\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x\mathrm{e}^{x}}\right)$
c. En déduire la limite de $f$ en $-\infty$ (On admettra que $\lim\limits_{x\longrightarrow\;-\infty}\;x\mathrm{x}^{x}=0)$
2.a Étudier les variations de $f$
b. Donner le tableau de variations de $f$
3.a Calculer $\lim\limits_{x\longrightarrow\;-\infty}\;[f(x)-(x-2)]$
b. En déduire que la droite $(\mathbb{D})$ d'équation $y=x-2$ est une asymptote oblique à $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ quand $x$ tend vers $+\infty$
4. Tracer $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ et $(\mathcal{D})$ dans un repère $\left(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}\right)$
6.a Trouver une primitive $F$ de $f$ sur $\mathbb{R}$
b. Calculer l'aire en $cm^{2}$ du domaine délimité par les droites d'équations respectives $x=0$, $x=1$, $y=0$ et la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$
Exercice 18 D'après épreuve de 2001, TL2, épreuve 1er groupe
Soit $f(x)=x-2+\dfrac{1}{\mathrm{e}^{x}}$ et $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormée $\left(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}$
L'unité de longueur est $2\,cm$
1.a Calculer $\lim\limits_{x\longrightarrow\;+\infty}\;f(x)$
On admet que $\lim\limits_{x\longrightarrow\;-\infty}\;(x)=+\infty$
b. Vérifier que $\forall\;x\in\mathbb{R}^{\ast}\;,\ f(x)=x\left(1-\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x\mathrm{e}^{x}}\right)$
c. En déduire la limites de $f$ en $-\infty$
On admettra que $\lim\limits_{x\longrightarrow\;-\infty}\;x\mathrm{e}^{x}=0$
2.a Étudier les variations de $f$
b. Donner le tableau de variation de $f$
3.a Calculer $\lim\limits_{x\longrightarrow\;-\infty}\;[f(x)-(x-2)]$
b. En déduire que la droite $(\mathcal{D})$ d'équation $y=x-2$ est une asymptote oblique à $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ quand $x$ tend vers $+\infty$
4. Étudier suivant les valeurs de $x$, la position de $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ par rapport à $(\mathcal{D})$
5. Tracer $(\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ et $(\mathcal{D})$ dans un repère $\left(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}\right)$
6. Trouver une primitive $F$ de $f$ sur $\mathbb{R}$
b. Calculer l'aire en $cm^{2}$ du domaine délimité par les droites d'équations respectives $x=0$, $x=1$, $y=0$ et la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$
Exercice 19 bac 2005, 2eme groupe, L2
Soit $f$ la fonction numérique définie par : $(x)=\dfrac{2-\mathrm{e}^{x}}{2+\mathrm{e}^{x}}$ et $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative
1. Étudier les limites de $f$ aux bornes $\mathbb{R}.$
En déduire l'existence de $2$ asymptotes dont on donnera les équations
2. Calculer $f'(x)$ où $f'$ est la fonction dérivé de $f.$
3. Étudier les variations de $f$ et établir son tableau de variations.
4. Donner une équation de la tangente à $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse $0.$
5. Tracer $(\mathcal{C})$, les asymptotes et la tangente dans un repère $\left(O\;,\ \vec{i}\;, \vec{j}\right)$
Exercice 20 (bac 2006,1er groupe)
1. Résoudre dans $\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}=0.$
2. Soit la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}_{x}-\mathrm{e}^{-x}}$ et $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé d'unité $1\,cm.$
a. Déterminer le domaine de définition de $f$, noté $\left(\mathcal{D}_{f}\right)$
b. Montrer que pour tout $x\in\left(\mathcal{D}_{f}\right)\;,\ f(-x)=-f(x).$
En déduire que l'origine du repère est le centre de symétrie de $(\mathcal{C})$
II. Dans la suite du problème, o, étudiera la fonction $f$ sur $]0\;,\ +\infty[.$
1.a Calculer de $f$ en $0$ à droite.
b. Montrer que $f(x)$ peut s'écrire sous la forme :
$f(x)=\dfrac{1+\mathrm{e}^{-2x}}{1-\mathrm{e}^{-2x}}$ ; en déduire la limite de $f$ en $+\infty$
c. Quelles sont les asymptotes à la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ ?
2. Montrer que $f'(x)=\dfrac{-4}{\left(\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}^{2}\right)$ ; en déduire le sens de variations de $f$ sur $]0\;,\ +\infty[$
3. Donner le tableau de variation de $f$
4. Construire la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ et ses asymptotes sur $]0\;,\ +\infty[$
En utilisant la question I/2b, Construire $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ sur $\mathcal{D}_{f}$
III Soit $A$ le domaine limité par $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ et les droites d'équations : $x=1$, $x=2$ et l'axe des abscisses.
On pose $u(x)=\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}$
1. Montrer que $f(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}$
En déduire une primitive $F$ de $f$ sur $]0\;,\ +\infty[$
2. Exprimer en $cm^{2}$ une valeur approchée à $10^{-2}$ près de l'aire du domaine $\mathcal{A}.$
Exercice 21 (bac 2006, 2eme groupe)
On se prose d'étudier la fonction numérique $f$ par $f(x)=x+2-\dfrac{4\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}+2}$
1. Montrer $2-\dfrac{4\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}+2}=-2+\dfrac{8}{\mathrm{e}^{x}+2}$
2.a En utilisant l'une des expressions $f(x)$ calculer
$\lim\limits_{x\longrightarrow\;-\infty}\;f(x)$ ; $\lim\limits_{\longrightarrow\;+\infty}\;f(x)$ et
$\lim\limits_{x+\longrightarrow\;+\infty}\;f(x)$
b. En utilisant l'une des expressions de $f$ montrer que les droites : $\left(\mathcal{D}_{1}\right)$ d'équation $y=x-2$ et $\left(\mathcal{D}_{2}$ d'équation $y=x+2$ sont des asymptotes à la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ de $f.$
3. Montrer que $f'(x)=\dfrac{\left(\mathrm{e}^{x}-2\right)^{2}}{\left(\mathrm{e}^{x}+2\right)^{2}}$ étudier son signe et en déduire le tableau de variations de $f$
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