Devoir math n°22 - 2nd

 

 

Exercice 1

 

1. Donner la définition des termes suivantes

 

Angle orienté de vecteurs

 

Radian

 

Cercle trigonométrique

 

2. Déterminer la mesure principale $\alpha$ de l'angle dont une mesure est $-\dfrac{179}{5}\pi$

 

3. Soient $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ des vecteurs tels que : $\left(\vec{u}\;,\ \vec{v}\right)=\dfrac{\pi}{3}$ et $\left(\vec{v}\;,\ \vec{\omega}\right)=\dfrac{3\pi}{4}$

 

Déterminer une mesure des angles orientés $\left(\vec{u}\;,\ \vec{\omega}\right)\ ;\ \left(-2\vec{u}\;,\ \vec{v}\right)$ et  $\left(-\vec{\omega}\;,\ -\vec{v}\right)$

 

4. Simplifier l'expression $\alpha=\cos(\pi-x)+\cos(\pi+x)+\cos x$

 

Exercice 2

 

Le plan est muni d'un repère orthonormé $\left(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}\right)$

 

Partie A

 

Soient $(\mathcal{D})\ :\ \left\lbrace\begin{array}{lcl} x&=&3k-5\\ y&=&-2k+7 \end{array}\right.$ ;

 

$k\in\mathbb{R}$ et $(\delta)\ :\ x+y-2=0$

 

a. Le point $A(1\ ;\ -1)$ appartient-il à $(\mathcal{D})$ ?

 

b. Le point $B(2\ ;\ \alpha)$ appartient à $(\delta)$ Calculer $\alpha$

 

2.a. Déterminer une équation cartésienne de $(\mathcal{D})$ 

 

b. Les droites $(\mathcal{D})$ et $(\delta)$ sont-elles sécantes ?

 

c. Si oui, déterminer les coordonnées du point d'intersection $I$ des droites $(\mathcal{D})$ et $(\delta)$

 

3. Déterminer une équation de la droite $(\delta)$, parallèle à $(d)\ :\ y=\dfrac{1}{4}x+5$ et passant par $A.$

 

Partie B

 

Soit $\left(\mathcal{D}_{m}\right)\ :\ (2-3m)x+(m+1)y+1-m=0$ ; $m\in\mathbb{R}$

 

1. Déterminer le réel $m$ pour que :

 

a. $C(-2\ ;\ 1)\in\left(D_{m}\right)$

 

b. $\left(D_{m}\right)$ soit perpendiculaire à la droite d'équation $(k)\ :\ 5x+10y-7=0$

 

2. Montrer que les droites $\left(\mathcal{D}_{m}\right)$ sont concourantes en un point à préciser.

 

Exercice 3

 

I.1. Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes

 

a. $f(x)=1-\dfrac{2}{1-x}\div x$

 

b. $g(x)=\sqrt{2-|x+4|}$

 

2. Soit le polynôme $p(x)=-x^{3}+3x+2$

 

a. Factoriser $P(x)$

 

b. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $P(x)>0$

 

c. Déterminer le domaine de définition de la fonction $h\ :\ x\mapsto\dfrac{|x|}{\sqrt{-x^{3}+3x+2}}$

 

II. Soit $k$ la fonction définie par $k(x)=x^{3}+x$

 

1. Déterminer le domaine de définition de $k$

 

2. a. Étudier la parité de $k$ 

 

b. Que peut-on en déduire.

 

3.a. Déterminer le taux de variation de $k$

 

b. Déterminer le sens de variation de $k.$

 

4.a. Compléter le tableau suivant.

 

$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|} \hline x&0&0.5&1&1.5&2\\ \hline k(x)&&&&\\ \hline \end{array}$

 

b. Tracer le courbe représentative de $k$ sur $[-2\ ;\ 2]$ dans une repère orthonormé. 

 

Unité $1\,cm$