Devoir math n°15 - 2nd

 

 

Exercice 1

 

1. Répondre par vrai ou faux.

 

a. Le degré de la somme de deux polynômes $A$ et $B$ est égale à $\text{d}^{\circ}A+\text{d}^{\circ}B.$

 

b. Si la forme factorisée de $C(x)=(x-\alpha)\times Q(x)$ alors $\text{d}^{\circ}Q+1=\text{d}^{\circ}C.$

 

c. Deux trinômes su second degré sont égaux si s'ils ont les mêmes racines.

 

2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ dans les cas suivants.

 

a. $x^{4}+2x^{2}-8=0$

 

b. $\dfrac{3x^{2}-4x-1}{x+2}\geq 0$

 

3. Déterminer $k$ pour que l'équation : $x^{2}-4x+k=0$ ait une racine triple de l'autre.

 

4. Discuter selon les valeurs du paramètre $m$, l'existence et le signe des racines distinctes de l'équation $mx^{2}-2(m+2)x+m+\dfrac{1}{2}=0$

 

Exercice 2

 

1. Factoriser le trinôme $x^{2}-x-2.$

 

2. Soit $P$ le polynôme définie par : $P(x)=2x^{3}+ax^{2}+bx-6.$

 

Trouver les réels $a$ et $b$ pour que le polynôme soit divisible par $x^{2}-x-2.$

 

3. En déduire une factorisation de $P(x)$

 

4. On pose $P(x)=2x^{3}+x^{2}-7x-6$

 

a. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $P(x)=0$

 

b. En déduire les solutions de l'équation $P(x+3)=0$

 

c. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $P(x)\geq 0$

 

5.a. Vérifier que $1-x^{n}=(1-x)\left(+x+x^{2}+\ldots+x^{n-2}+x^{n-1}\right)$

 

b. Montrer que le polynôme $nx^{n+1}-(n+1)x^{n}+1$ est factorisable par $(x+1)^{2}$ où $n\in\mathbb{N}$

 

6. Soit $\mathbb{R}$ le polynôme définie par : $R(x)=4x^{3}+x^{2}-4x-1$ admettant trois racines $a$, $b$ et $c.$ sans les calculer déterminer les réels $A$, $B$, $C$ et $D$ tel que :

 

$A=a+b+c$

 

$B=ab+ac+bc$

 

$C=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$

 

$D=a^{2}+b^{2}+c^{2}$

 

Exercice 3

 

Le plan est muni d'un repère orthonormé $\left(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}\right)$

 

1. Dans chacun des cas suivants donner l'équation générale de la droite d'équation $\left(\mathcal{D}_{1}\right)$

 

a. $\left(\mathcal{D}_{1}\right)$

 

1. Dans chacun des cas suivantes donner l'équation générale de la droite $\left(\mathcal{D}_{1}\right)$

 

a. $\left(\mathcal{D}_{1}\right)$ passe par $A(-1\ ;\ 2)$ et $B(1\ ;\ 3)$

 

b. $\left(\mathcal{D}_{1}\right)$ passe par $C(1\ ;\ -2)$ et est parallèle à la droite d'équation $x-2y+6=0$

 

2. Dans chacun des cas suivants donne un système d'équation paramétriques de la droite $\left(\mathcal{D}_{2}\right)$

 

$\left(\mathcal{D}_{2}\right)$ passe par $A(-1\ ;\ 3)\text{ et }\overrightarrow{u}(1\ ;\ 4)$

 

3. Soit la droite $\left(\mathcal{D}_{3}\right)$ d'équations paramétriques définie par $\left(\mathcal{D}_{3}\right)$ :

 

c. Vérifier que les points $I(-1\ ;\ 2)$ et $J(4\ ;\ 0)$ appartiennent-ils à $\left(\mathbb{D}_{3}\right)$ ?

 

d. Déterminer l'équation réduite de $\left(\mathcal{D}_{3}\right)$

 

Exercice 3

 

1. Soit $ABC$ un triangle.

 

a. Placer les points $I$ et $G$ définis par : $\overrightarrow{CI}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{CB}$ et $\overrightarrow{IG}+\dfrac{4}{9}\overrightarrow{IA}.$

 

b. Trouver $a$, $b$ et $c$ tels que $G=\text{bar }{(A\;,\ a)\ ;\ (B\;,\ b)\ ;\ (C\;,\ c)}.$

 

2. Soit $ABC$ un triangle.

 

$I=\text{bar }{(A\ ;\ 3)\ ;\ (B\ ;\ 2)\ ;\ (J\ ;\ 2)}.$

 

En déduire que $I$, $J$ et $K$ sont alignés.

 

3. Soient les points $I$, $J$ et $K$ tels que $\overrightarrow{AI}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CJ}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{CB}$ et $\overrightarrow{CK}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{CA}$

 

Montrer que les droites $(AJ)$, $(BK)$ et $(CI)$ sont concourantes.