Devoir math n°8 - 2nd

 

 

Exercice 1

 

I. Réponds par Vrai ou Faux aux affirmations suivantes (mettre sur la copie $V$ ou $F$ devant le numéro de chaque affirmation) :

 

1. Si $A$, $B$ et $C$ sont trois points distincts du plan et $O$ le milieu de segment $[AB]$, alors on a $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{OA}.$

 

2. Si $\overrightarrow{U}=k\overrightarrow{V}$, $k\in\mathbb{R}$ alors la longueur du vecteur $\overrightarrow{U}$ est égale à $k$ fois celle de $\overrightarrow{V}.$

 

3. Les racines $x'$ et $x"$ du trinôme $x^{2}-5x+7$ vérifient $x'+x"=5$ et $x'\timesx"=7.$

 

4. L'ordre de grandeur du réel $x=-4892456$ est égale à $-5\cdot10^{5}.$

 

II: 1. Soient $I$ et $J$ deux intervalles définis par : $I={x\;,x\in\mathbb{R}/|x+3|\leq2}$ et $J=]-7\ ;\ -2[$

 

Déterminer $I\cap J$ et $I\cupJ.$

 

2. Détermine le centre et le rayon de l'intervalle $K=]-\dfrac{15}{2}\ ;\ \dfrac{7}{2}]$

 

3. Soit $L$ l'intervalle défini par $L=]-\dfrac{5}{2}\ ;\ \dfrac{19}{2}].$

 

Écris $L$ en fonction de valeur absolue.

 

4. Résous dans $\mathbb{R}$ l'inéquation suivante : $\dfrac{1}{3}<|3x-5|\leq3$

 

III. Soient $x$ et $Y$ deux nombres réels strictement positifs, tels que $x<y$

 

On pose $a=\dfrac{x+y}{2}$, $g=\sqrt{x\times y}$ et $h=\dfrac{2x\times y}{x+y}$ 

 

Démontre les inéquations c-dessous en utilisant l'inégalité

 

1. $x< h$

 

2. $a< y$

 

3. $g< a$

 

Exercice 2

 

Soit un triangle $ABC$ tel que $AB=5\,cm$, $BC=7\,cm$ et $CA=9\,cm$

 

1. Construis $K$ le barycentre de $(A\;,\ 2)$ et $(B\;,\ 1)$

 

2. Construis $I$ le barycentre de $(B\;,\ 2)$ et $(C\;,\ 5)$

 

3. Construis $J$ le barycentre de $$(C\;,\ 5)$ et $(A\;,\ 4)$

 

4. Que remarque-t-on sur les droites $(CK)$, $(AI)$ et $(BJ)$?

 

5. Soit $G$ le point défini par : $4\overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{GB}+5\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{O}$

 

a. Construis le point $G.$

 

b. Prouves que $4\overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{GB}=6\overrightarrow{GK}.$

 

c. Déduis-en que $G$ appartient à la droite $(CK).$

 

d. Justifie alors la remarque de la question $4.$

 

Exercice 3

 

I. Soit $ABC$ un triangle équilatéral de côté $4\,cm.$

 

Soit $D$ le point tel que :

 

$3\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{o}.$

 

1. Montre que $D=\text{bar }={(A\;,\ 2)\ ;\ (B\;,\ -1)\ ;\ (c\;,\ 2)}$

 

2. soit $I$ milieu de $[AC]$ et $G$ le centre de gravité du triangle $ABC$ 

 

a. Montre que $D=\text{bar }(B\;,\ 1)\ ;\ (I\;,\ -4)}$

 

b. Déduis-en que $D$ est le symétrique e $G$ par rapport à $I$

 

c. Déterminer et construis l'ensemble des points $M$ du plan tel que:

 

$\left|2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}\right|=15$

 

II. Soient les pondérés $(A\;,\ 3+m)$, $(B\;,\ m)$ et $(C\;,\ m)$ où $m$ est un paramètre réel.

 

1. Déterminer les valeurs de $m$ pour que le barycentre $G_{m}$ des points existe.

 

2. Soit $I$ le milieu de $[BC]$ détermine la valeur de $m$ pour que $G$ soit le milieu de $[AI]$

 

III Soit $ABC$ un triangle, $G$ est le barycentre des points pondérés $(A\;,\ -1)$ et $(B\;,\ 2$ et $(C\;,\ \dfrac{3}{2}).$

 

Les points $P$, $Q$ et $R$ définis par : 

 

$\overrightarrow{GP}+4\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{O}$,

 

$\overrightarrow{GQ}-2\overrightarrow{GA}=\overrightarrow{O}$ et

 

$\overrightarrow{GR}-3\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{O}$

 

Démontre que le point $G$ est centre de gravité du triangle $PQR$