Devoir math n°6 - 2nd

 

 

Exercice 1

 

1. Rappeler la définition de la racine carrée d'un nombre réel positif $a$

 

2. Donner les propriétés de la racine carrée d'un nombre réel positif $a$

 

3. Soit $a$, $b$ et $c$ trois réels non nuls tels que $ab+ac+bc=0.$

 

Calculer la somme $S=\dfrac{a-c}{b}+\dfrac{a-b}{c}-\dfrac{b+c}{a}$

 

Exercice 2

 

Soit $x$ et $y$ deux réels tels que $-3<x<-2$ et $9<y<10$

 

Donner un encadrement de $x+y$, $x-y$, $x^{2}$, $y^{2}$ et $\dfrac{y}{x}$

 

On laissera les bornes des encadrements en valeur exacte et simplifiée.

 

Exercice 3

 

Soit $ABC$ un triangle et $I$ un point de $[AB].$

 

1. La parallèle à $(BC)$ passant par $I$ coupe $(AC)$ en $J.$

 

La parallèle à $(AB)$ passant pat $J$ coupe $(BC)$ en $K.$ 

 

La parallèle à $(AC)$ passant par $K$ coupe $(AC)$ en $L.$

 

Démontrer que $L=I$ si et seulement si $I$ est le milieu de $[AB].$

 

2. La parallèle à $(BC)$ passant par $L$ coupe $(AC)$ en $M.$

 

La parallèle à $(AB)$ passant par $M$ coupe $(BC)$ en $N.$

 

Démontrer que les droites $(IN)$ et $(AC)$ sont parallèles.

 

Exercice 4

 

Soit $A$, $B$ et $C$ trois points non alignés et les points $D$ et $E$ tels que :

$$\overrightarrow{AD}=\dfrac{5}{2}\overrightarrow{AC}+\dfrac{3}{2}\overrightarrow{CB}$ et $\overrightarrow{CE}=-2\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$

 

1. Faire un dessin.

 

Conjecturer le lien entre les points $B$, $D$ et $E$

 

2. Nous allons démontrer la conjecture du point précédent.

 

a. Exprimer $\overrightarrow{ED}$ en fonction des seuls vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}.$

 

b. Exprimer $\overrightarrow{BD}$ en fonction des seuls vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$

 

c Conclure.