Devoir n°16 - Ts1

 

1) Soit $a$ et $b$ deux réels vérifiant $0\leq a\leq b.$

 

Démontrer les relations : $$a<\sqrt{ab}<b\quad(i)\quad\text{et}\quad a<\dfrac{2ab}{a+b}<\dfrac{a+b}{2}<b\quad(ii)$$

 

2) Soit $\left(a_{n}\right)$ et $\left(b_{n}\right)$ deux suites définies pour $n\geq 1$ par :

 

$\left\lbrace\begin{array}{lcl} b_{1}&=&2\sqrt{3}\quad\text{et}\quad a_{1}=3\\b_{n+1}&=&\dfrac{2a_{n}b_{n}}{a_{n}+b_{n}}\quad\text{et}\quad a_{n+1}=\sqrt{a_{n}b_{n+1}} \end{array}\right.$

 

En utilisant le 1.a), démontrer par récurrence que :

 

Pour tout $n\geq 1.0\leq a_{n}<b_{n}.$

 

3) En déduire le sens de variation des suites $\left(a_{n}\right)$ et $\left(b_{n}\right)$

 

4) Montrer que les suites $\left(a_{n}\right)$ et $\left(b_{n}\right)$ sont convergentes

 

5) Démontrer que , pour $n\geq 1\ :\ b_{n+1}-a_{n+1}\leq\dfrac{1}{2}\left(b_{n}-a_{n}\right)$

 

(on pourra utiliser (i) et (ii)).

 

6) En déduire que , pour $n\geq 1\;,\ b_{n}-a_{n}\leq\dfrac{1}{2^{n}}$ et que les suites $\left(a_{n}\right)$ et $\left(b_{n}\right)$ convergent vers la même limite.

Pour tout entier naturel $n\geq 2$, on considère la fonction polynômiale $p_{n}$ définie pour tout $x\in\mathbb{R}+$ par ∶ $$p_{n}(x)=-1+\sum_{k=1}^{n}\;x^{k}$$

 

1) a) Étudier le sens de variation de $p_{n}$ sur $\mathbb{R}+$ et préciser $p_{n}(0)$ et $p_{n}(1).$

 

b) En déduire que, pour $n\geq 2$, $p_{n}$ admet une racine unique $a_{n}$ dans $]0\ ;\ 1[.$

 

Donner la valeur exacte de $a_{2}$

 

2) a) Démontrer que pour tout entier $n\geq 2$, on a : $p_{n+1}\left(a_{n}\right)<0$

 

b) En déduire le sens de variation de la suite $\left(a_{n}\right).$

 

La suite $\left(a_{n}\right)$ est-elle convergente ?

 

3) a) Démontrer que pour $x\neq 1$, on a : $$p_{n+1}(x)=\dfrac{x^{n+1}-2x+1}{x-1}$$

 

En déduire que pour tout $n\geq 2$, on a : $a_{n}^{n+1}-2a_{n}+=0$

 

b) Justifier, que pour que $n\geq 2$, $a_{n}\leq a_{2}<1$ et $0<2a_{n}-1\leq a_{2}^{n+1}$

 

c) En déduire $\lim\limits_{n\longrightarrow\;+\infty}\;a_{n}$

Partie A

 

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=\dfrac{x-1}{\sqrt{x^{2}-2x+2}}$

 

1) Montrer que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et que : $$f'(x)=\dfrac{1}{\left(\sqrt{x^{2}-2x+2}\right)}^{3}$$

 

2) Montrer que f réalise une bijection de $\mathbb{R}$ vers un intervalle $J$ à préciser

 

3) Tracer la courbe $(\mathcal{C}$ de $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormé $\left(O\;,\ \vec{i}\ ;\ \vec{j}\right)$ Unité graphique : $2\,cm$

 

4) Montrer que la bijection réciproque $f^{-1}$ de $f$ est dérivable sur $]-1\ ;\ 1[$ et on a : $\forall\;x\in\;]-1\ ;\ 1[\ :\ f^{-1}(x)=1+\dfrac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}$

 

Indication : $t^{2}-2t+2=(t-1)^{2}+1$

 

5) Tracer la courbe $\left(\mathcal{C}^{\prime}\right)$ de $f^{-1}$ dans le même repère.

 

Partie B

 

Soit $g$ la fonction définie sur $\left]-\dfrac{\pi}{2}\ ;\ \dfrac{\pi}{2}\right[$ par : $g(x)=\sin x+f^{-1}(\sin x)-\tan x$

 

1) Montrer que $\forall\;x\in\left]-\dfrac{\pi}{2}\ ;\ \dfrac{\pi}{2}\right[\ :\ g(x)=1+\sin x$

 

2) Montrer que $g$ réalise une bijection de $\left]-\dfrac{\pi}{2}\ ;\ \dfrac{\pi}{2}\right[$ vers $]0\ ;\ 2[$

 

3) Montrer que : $\forall\;x\in\;]0\ ;\ 2[\ :\ \left(g^{-1}\right)^{\prime}(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2x-x^{2}}}$

 

Partie C

 

Soit $\varphi$ la fonction définie sur $]0\ ;\ 2[$ par : $\varphi(x)=g^{-1}(x)+g^{-1}(2-x)$

 

1) Montrer que $\varphi$ est dérivable sur $]0\ ;\ 2[$ puis calculer $\varphi^{\prime}(x)$

 

2) Montrer que : $\forall\;x\in\;]0\ ;\ 2[\ ;\ g^{-1}\ (x)+g^{-1}(2-x)=0$

 

Interpréter géométriquement le résultat

 

3) Soit $\left(u_{n}\right)_{n\geq 1}$ la suite définie par : $$u_{n}=\sum_{k=1}^{n}\left[g^{-1}\left(\dfrac{1}{k}\right)+g^{-1}\left(\dfrac{2k+1}{k+1}\right)\right]$$

 

a) Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)_{n\geq 1}$ est parfaitement définie

 

b) Vérifier que : $\varphi\left(\dfrac{2k+1}{k+1}\right)=g^{-1}\left(\dfrac{2k+1}{k+1}\right)+g^{-1}\left(\dfrac{1}{k+1}\right)$

 

c) En déduire que : $u_{n}=-g^{-1}\left(\dfrac{1}{n+1}\right)$

 

d) Calculer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)_{n\geq 1}$