BAC S COMPLEXE Amérique du Sud novembre 2010

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$.

Soit A, B et P les points d'affixes respectives $a = 5 + 5\text{i},~b = 5 - 5\text{i}$ et $p = 10$.

On considère un point $M$, distinct de O, d'affixe $z$.

On note $U$ le point d'affixe $u$, image du point $M$ par la rotation $R_{\text{A}}$ de centre A et d'angle de mesure $- \dfrac{\pi}{2}$.

On note $T$ le point d'affixe $t$, image du point $M$ par la rotation $R_{\text{B}}$ de centre B et d'angle de mesure $\dfrac{\pi}{2}$.

Soit $D$ le symétrique du point $M$ par rapport à O.

Démontrer que l'affixe du point $U$ est $u = \text{i}(10 - z)$ ; exprimer en fonction de $z$ l'affixe du point $T$ puis justifier que le quadrilatère $MUDT$ est un parallélogramme de centre O.
Déterminer l'ensemble $\Gamma$ des points $M$ d'affixe $z$ tels que : $z\overline{z} - 5z - 5\overline{z} = 0$.

Justifier que le quadrilatère OAPB est inscrit dans $\Gamma$.
On suppose que le point $M$ est distinct de O, A et P. Les points O, $M$ et $U$ sont donc distincts deux à deux.

Démontrer que les points O, $M$ et $U$ sont alignés si et seulement si $\dfrac{u}{z} = \dfrac{\overline{u}}{\overline{z}}$.
Démontrer que les points O, $M$ et $U$ sont alignés si et seulement si $M$ appartient à $\Gamma$.

Déterminer l'ensemble des points $M$ du plan tels que O$MU$ soit un triangle isocèle en O. Quelle est dans ce cas la nature du quadrilatère $MUDT$ ?
Déterminer l'ensemble des nombres complexes $z$ tels que $\dfrac{u}{z}$ soit un imaginaire pur. En déduire la nature du quadrilatère $MUDT$ dans le cas où $M$ est un point de la droite (OP) privée de O et P.

Prouver finalement qu'il existe une unique position du point $M$ tel que $MUDT$ soit un carré.