BAC S COMPLEXE Amérique du Nord 2011

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$.

On considère les points A et B d'affixes respectives : $a = \text{i}$ et $b = 1 + \text{i}$.

On note : $r_{\text{A}}$ la rotation de centre A, d'angle $\dfrac{\pi}{2}$, $r_{\text{B}}$ la rotation de centre B, d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ et $r_{\text{O}}$ la rotation de centre O, d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$.

Partie A

On considère le point C d'affixe $c = 3\text{i}$. On appelle D l'image de C par $r_{\text{A}}$, G l'image de D par $r_{\text{B}}$ et H l'image de C par $r_{\text{O}}$.

On note $d, g$ et $h$ les affixes respectives des points D, G et H.

Démontrer que $d = -2+ \text{i}$.
Déterminer $g$ et $h$.
Démontrer que le quadrilatère CDGH est un rectangle.

Partie B}

On considère un point $M$, distinct de O et de A, d'affixe $m$. On appelle $N$ l'image de $M$ par $r_{\text{A}}$, $P$ l'image de $N$ par $r_{\text{B}}$ et $Q$ l'image de $M$ par $r_{\text{O}}$.

On note $n, p$ et $q$ les affixes respectives des points $N,\, P$ et $Q$.

Montrer que $n = \text{i}m + 1 + \text{i}$. On admettra que $p = -m + 1+\text{i}$ et $q = -\text{i}m$.
Montrer que le quadrilatère $MNPQ$ est un parallélogramme.

Montrer l'égalité : $\dfrac{m - n}{p - n} = \text{i} + \dfrac{1}{m}$.
{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

Déterminer l'ensemble $(\Gamma)$ des points $M$ tels que le quadrilatère $MNPQ$ soit un rectangle.