BAC S COMPLEXE Liban 30 mai 2011

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct \Ouv, on considère les points A et B d'affixes respectives :

zA=1ietzB=2+3+i.

Déterminer le module et un argument de zA.

Écrire zBzA sous forme algébrique.
Montrer que zBzA=(1+3)eiπ3.
En déduire la forme exponentielle de zB.

On note B1 l'image du point B par la rotation r de centre O et d'angle π6.

Déterminer l'affixe du point B1.
En déduire que le point B1 est le symétrique du point B par rapport à l'axe (O ; u).

Soit M un point du plan. On note M1 l'image du point M par la rotation r et M le symétrique du point M1 par rapport à l'axe (O ; u).

On désigne par (E) l'ensemble des points M du plan tels que M=M.

Montrer que les points O et B appartiennent à l'ensemble (E).
Soit M un point distinct du point O.

Son affixe z est égale à ρeiθρ est un réel strictement positif et θ un nombre réel.

Montrer que l'affixe z du point M est égale à ρei(π6θ) puis déterminer l'ensemble des valeurs du réel θ telles que M appartienne à l'ensemble (E).
Déterminer l'ensemble (E).

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