BAC S COMPLEXE Liban 30 mai 2011

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct \Ouv, on considère les points A et B d'affixes respectives :

$$z_{\text{A}}=1-\text{i}\text{et}{z}_{\text{B}}=2+\sqrt{3}+\text{i}.$$

Déterminer le module et un argument de $z_{\text{A}}$.

Écrire $\dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}}$ sous forme algébrique.
Montrer que $\dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}} = \left(1 + \sqrt{3} \right)\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$.
En déduire la forme exponentielle de $z_{\text{B}}$.

On note B$_{1}$ l'image du point B par la rotation $r$ de centre O et d'angle $- \dfrac{\pi}{6}$.

Déterminer l'affixe du point B$_{1}$.
En déduire que le point B$_{1}$ est le symétrique du point B par rapport à l'axe $\left(\text{O}~;~\overrightarrow{u}\right)$.

Soit $M$ un point du plan. On note $M_{1}$ l'image du point $M$ par la rotation $r$ et $M'$ le symétrique du point $M_{1}$ par rapport à l'axe $\left(\text{O}~;~\overrightarrow{u}\right)$.

On désigne par (E) l'ensemble des points $M$ du plan tels que $M' = M$.

Montrer que les points O et B appartiennent à l'ensemble (E).
Soit $M$ un point distinct du point O.

Son affixe $z$ est égale à $\rho \text{e}^{\text{i}\theta}$ où $\rho$ est un réel strictement positif et $\theta$ un nombre réel.

Montrer que l'affixe $z'$ du point $M'$ est égale à $\rho \text{e}^{\text{i}\left(\frac{\pi}{6} - \theta\right)}$ puis déterminer l'ensemble des valeurs du réel $\theta$ telles que $M$ appartienne à l'ensemble (E).
Déterminer l'ensemble (E).