Fonction Logarithme népérien

Definition:

La fonction logarithme népérien, notée ln, est la bijection réciproque de la fonction exp pour tout x de $]0,+\infty[$ et pour tout y de $\mathbb{R}$, $\ln x = y$, si et seulement si $e^y = x$

Propriétés

    Pour tout x element de $]0,+\infty[$, on a $e^{\ln x} =x$
    Pour tout x de $\mathbb{R}$, $\ln e^x =x$
    $\ln 1=0$
    $ln e=1$
    $\begin{cases}x \in ]0,+\infty[\\ y =\ln x\end{cases} \Longleftrightarrow x=e^y$
    La fonction logarithme népérien est une bijection de $]0,+\infty[$ dans $\mathbb{R}$

Propriétés

La fonction ln est définie sur $]0,+\infty[$ et verifie pour tout x, y element de $]0,+\infty[$,

    $\ln xy = \ln x + \ln y$
    $\ln \frac{1}{x} = -\ln x$
    $\ln \frac{x}{y} = \ln x - \ln y$
    $\ln \sqrt{x} = \frac{1}{2}\ln x$
    Pour tout $n\in \mathbb{Z}$, $\ln x^n = n \ln x$

Propriétés

 Soient $a_1,a_2, ...,a_n$ n réels strictement positives, on a:

      $\ln (a_1a_2...a_n)=\ln a_1+\ln a_2+...\ln a_n$

Limite et continuité

La fonction $\ln$ est continue sur $]0,+\infty[$, et on a:

pour tout x appartenant à $]0,+\infty[$,

    $\lim_{x\to +\infty}\ln x=+\infty$
    $\lim_{x\to 0}\ln x=-\infty$
    $\lim_{x\to +\infty}\frac{\ln x}{x^r}=0$ si $r>0$
    $\lim_{h(x)\to 0}\frac{\ln (1+h(x))}{h(x)}=1$
     $\lim_{x\to 0}x^r\ln x=0$ si $r>0$

Dérivation

    La fonction $\ln$ est dérivable sur $]0,+\infty[$, et on a pour tout $x>0$,

$(\ln x)^{'} =\frac{1}{x}$

    La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$, et on a pour tout $x>0,y>0$,

$x<y \Longleftrightarrow \ln x < \ln y$
$x=y \Longleftrightarrow \ln x=\ln y$

     Si une fonction $u$ est positive et ne s'annule pas sur un intervalle $I$, alors $\ln u$ estdérivable sur $I$, et pour tout x de $I$:

$(\ln(u))^{'}=\frac{u^{'}(x)}{u(x)}$

Fonction logarithme décimal

On appelle fonction logarithme décimal, la fonction noté log définie sur $]0;+\infty[$ par

$\log x =\frac{\ln x}{10}$

La démonstration des propriétés est en cours.