BAC S COMPLEXE La Réunion juin 2011

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct$\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$.

Partie A - Restitution organisée de connaissances

Soient $A, B$ deux points du plan d'affixes respectives $a$ et $b$.

On rappelle que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{ize}
[*~~] $\left(\overrightarrow{u},\,\overrightarrow{AB}\right) = \arg (b - a) + 2k\pi\, \text{où}\, k \in \Z$.
[*~~] L'image du point B par la rotation de centre A et d'angle $\theta$ est le point $C$ défini par :

$$AC = AB\quad \text{et}\quad \text{si}\, A \neq B,\; \left(\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AC}\right)= \theta + 2k\pi\, \text{où}\, k \in \Z.$$
\end{ize}
\setlength\parindent{0mm}

Exprimer l'affixe $c$ du point $C$ en fonction de $a,\, b$ et $\theta$.

Partie B

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $2z^2 - 6z + 9 = 0$.

Dans la suite de l'exercice, on désigne par P, Q et R les points d'affixes respectives

$$z_{\text{P}} = \dfrac{3}{2}(1 + \text{i}), \quad z_{\text{Q}} = \dfrac{3}{2}(1 - \text{i})\quad \text{et}\quad z_{\text{R}} = -2\text{i}\sqrt{3}.$$

Placer les points P, Q, R sur une figure que l'on complètera au fur et à mesure de la résolution de l'exercice.
On note S le symétrique du point R par rapport au point Q.

Vérifier que l'affixe $z_{\text{S}}$ du point S est $3 + \text{i}\left(2\sqrt{3} - 3\right)$.
Soit $r$ la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$.

Déterminer les affixes $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{C}}$ des points A et C, images respectives des points R et S par la rotation $r$.
On désigne par B et D les images respectives des points S et R par la translation de vecteur $3\overrightarrow{v}$.

Calculer les affixes $z_{\text{B}}$ et $z_{\text{D}}$ des points B et D.

Démontrer que $\dfrac{z_{\text{C}} - z_{\text{P}}}{z_{\text{B}} - z_{\text{P}}} = \text{i}$.
En déduire la nature du quadrilatère ABCD.