Bac S COMPLEXE Antilles-Guyane sept 2011
Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct (O ; →u ; →v), d'unité graphique 4~cm.
Partie A
On note P le point d'affixe p=−12+i√32, Q le point d'affixe q=−12−i√32, et K le point d'affixe −1.
Montrer que les points P et Q appartiennent au cercle Γ de centre O et de rayon 1.
Faire une figure et construire les points P et Q.
Déterminer l'ensemble D des points M d'affixe z tels que |z|=|z+1|. Représenter cet ensemble sur la figure.
Montrer que P et Q sont les points d'intersection de l'ensemble D et du cercle
Γ.
Partie B
On considère trois nombres complexes non nuls a,b et c. On note A, B et C les points d'affixes respectives a,b et c.
On suppose que l'origine O du repère \Ouv{} est à la fois le centre de gravité et le centre du cercle circonscrit du triangle ABC.
Montrer que |a|=|b|=|c|. En déduire que |ba|=|ca|=1.
Montrer que a+b+c=0.
Montrer que |ba|=|ba+1|=1.
En utilisant la partie A, en déduire que ba=p ou ba=q.
Dans cette question, on admet que ba=p et ca=q.
Montrer que q−1p−1=eiπ3.
Montrer que q−1p−1=c−ab−a.
Déduire des deux questions précédentes la nature du triangle ABC.
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