ENSAE (ITS) - Épreuve de Mathématique 2019
Test de présélection Voie A
Exercice 1 (3 points)
Soit x un réel donné ; on appelle E(x) le plus grand entier relatif inférieur ou égal à x.
On considère la fonction numérique f de la variable réelle x sur l'intervalle [−1, +2] par f(x)=E(x)sinπx.
1. Montrer que est continue sur [−1, 2] et étudier sa dérivabilité en 0 et en 1. (0.5 pt-0.5 pt- 0.5 pt)
2. Montrer que l'étude de f peut se restreindre à [12, 2] et établir le tableau de variation de f sur l'intervalle [12, 2]. (0.5 pt - 0.5 pt)
3. Tracer la courbe représentative de f dans un repère orthonormé sur [−1, +2]. (0.5 point)
Exercice 2 (2.5 points)
1. ABC est un triangle rectangle.
Son plus coté a pour longueur 1.
Les longueurs des trois cotés sont des termes consécutifs d'une suite arithmétique.
Quelle est la longueur des deux autres cotés ? (0.75 points)
2. Montrer que, quels soient les réels a et b strictement positifs et l'entier naturel n supérieur à 2, on a bn>an si, et seulement, b>a. (0.5 point)
3. Montrer que, quel que soit le réel a strictement positif et l'entier naturel n supérieur à 2 on a bn>an si, et seulement, b>a. (0.5 point)
3. Montrer que, quel que soit le réel a strictement positif et l'entier naturel n supérieur à 2, on a :(1+a)n>1+na.(0.5 point)
4. (Un) est une suite croissante .
(Vn) est la suite définie par vn=1n(u1+u2+…+un) pour tout n≥1.
Déterminer que (Vn) est croissante. (0.75 point)
Exercice 3 (2 points)
Soit f l'application de R dans R définie par f(x)=x|x|
1. Montrer que f est une bijection de R sur R. (1 point)
2. Déterminer l'application réciproque, f−1. (0.5 point)
3. Construire, dans un repère orthonormé, les courbes représentatives de f et de f−1. (0.5 point)
Exercice 4 (3 points)
1. Mettre sous la forme d'un produit de deux tangentes l'expression : cos2x−cos4xcos2x+cos4x (1 point)
2. Soit h un réel distinct de 2kπ, (k∈Z).
On note Sn=sinh+sin2h+…+sinnh
Démontrer la relation Sn=sinnh2sin(n+1)h2sinh2,pour tout n∈N.(2 point)
Exercice 5 (1 point)
Déterminer les limites suivantes :
1. lim0xsinx1−cosx (0.5 point)
2. limπ2√1−cosx−√12x−π3 (0.5 point)
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