ENSAE (ITS) - Épreuve de Mathématique 2019

 

Test de présélection Voie A

Exercice 1  (3 points)

Soit x un réel donné ; on appelle E(x) le plus grand entier relatif inférieur ou égal à x.
 
On considère la fonction numérique f de la variable réelle x sur l'intervalle [1, +2] par f(x)=E(x)sinπx.
 
1. Montrer que est continue sur [1, 2] et étudier sa dérivabilité en 0 et en 1.  (0.5 pt-0.5 pt- 0.5 pt)  
 
2. Montrer que l'étude de f peut se restreindre à [12, 2] et établir le tableau de variation de f sur l'intervalle [12, 2].  (0.5 pt - 0.5 pt)
 
3. Tracer la courbe représentative de f dans un repère orthonormé sur [1, +2].  (0.5 point)

Exercice 2  (2.5 points)

1. ABC est un triangle rectangle.
 
Son plus coté a pour longueur 1.
 
Les longueurs des trois cotés sont des termes consécutifs d'une suite arithmétique.
 
Quelle est la longueur des deux autres cotés ? (0.75 points)
 
2. Montrer que, quels soient les réels a et b strictement positifs et l'entier naturel n supérieur à 2, on a bn>an si, et seulement, b>a.  (0.5 point)
 
3. Montrer que, quel que soit le réel a strictement positif et l'entier naturel n supérieur à 2 on a bn>an si, et seulement, b>a.  (0.5 point)
 
3. Montrer que, quel que soit le réel a strictement positif et l'entier naturel n supérieur à 2, on a :(1+a)n>1+na.(0.5 point)
 
4. (Un) est une suite croissante .
 
(Vn) est la suite définie par vn=1n(u1+u2++un) pour tout n1.
 
Déterminer que (Vn) est croissante.  (0.75 point)

Exercice 3  (2 points)

Soit f l'application de R dans R définie par f(x)=x|x|
 
1. Montrer que f est une bijection de R sur R.  (1 point)
 
2. Déterminer l'application réciproque, f1.  (0.5 point)
 
3. Construire, dans un repère orthonormé, les courbes représentatives de f et de f1.  (0.5 point)

Exercice 4  (3 points)

1. Mettre sous la forme d'un produit de deux tangentes l'expression : cos2xcos4xcos2x+cos4x  (1 point)
 
2. Soit h un réel distinct de 2kπ, (kZ).
 
On note Sn=sinh+sin2h++sinnh
 
Démontrer la relation Sn=sinnh2sin(n+1)h2sinh2,pour tout nN.(2 point)

Exercice 5  (1 point)

Déterminer les limites suivantes :
 
1. lim0xsinx1cosx  (0.5 point)
 
2. limπ21cosx12xπ3  (0.5 point)

 

 

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