EPT - Épreuve de Mathématiques - 2013

 

1) Soit la suite $S_{n}=\dfrac{1}{1\times 2\times 3}+\dfrac{1}{2\times 3\times 4}+\ldots+\dfrac{1}{n(n+1)(n+2)}+\ldots$

 

a) La suite $(S_{n})$ converge et $\lim\limits_{n\to +\infty}S_{n}=\dfrac{1}{3}$

 

b) La suite $(S_{n})$ converge et $\lim\limits_{n\to +\infty}S_{n}=\dfrac{1}{4}$

 

c) La suite $(S_{n})$ diverge

 

d) La suite $(S_{n})$ converge et $\lim\limits_{n\to +\infty}S_{n}=\dfrac{1}{6}$

 

2) On pose $S_{n}(x)=1+\dfrac{x}{2}+\dfrac{x^{2}}{2^{2}}+\ldots+\dfrac{x^{n}}{2^{n}}+\ldots$

 

a) La suite $(S_{n}(x))$ converge pour $0<x<3.$

 

b) La suite $(S_{n}(x))$ converge pour $-3<x<0.$

 

c) La suite $(S_{n}(x))$ converge pour $-2<x<2.$

 

d) La suite $(S_{n}(x))$ converge pour $-3<x<3.$

 

3) On considère la courbe $(C)$ d'équations paramétriques :

$$x=a\cos t\;,\quad y=b\sin t$$

a) Le vecteur de tangence à $(C)$ au point $t=0$ est $\vec{u}=-a\vec{i}$

 

b) Le vecteur de tangence à $(C)$ au point $t=0$ est $\vec{u}=-a\vec{i}+b\vec{j}$

 

c) Le vecteur de tangence à $(C)$ au point $t=0$ est $\vec{u}=a\vec{i}-b\vec{j}$

 

d) Le vecteur de tangence à $(C)$ au point $t=0$ est $\vec{u}=b\vec{j}$

 

4) On pose $I=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin 5x}{3x}$

 

a) $I=\dfrac{5}{3}\quad$ b) $I=\dfrac{1}{3}\quad$ c) $I=\dfrac{3}{5}\quad$ d) $I=1$

 

5) On pose $S=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln(1+x)}{x}$

 

a) $S=+\infty\quad$ b) $S=1\quad$ c) $S=\dfrac{1}{2}\quad$ d) $S=\mathrm{e}$

 

6) On pose $T=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}-2x}{x-\sin x}$

 

a) $T=1\quad$ b) $T=\sqrt{2}\quad$ c) $T=2\quad$ d) $T=0$

 

7) On pose $U=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln\left(\dfrac{x+1}{x}\right)}{\ln\left(\dfrac{x-1}{x}\right)}$

 

a) $U=1\quad$ b) $U=0\quad$ c) $U=\dfrac{1}{2}\quad$ d) $U=-1$

 

8) On pose

$$I=\int_{0}^{\pi}x\sin x\mathrm{d}x$$

a) $I=\pi\quad$ b) $I=\dfrac{\pi}{2}\quad$ c) $I=2\quad$ d) $I=0$

 

9) On pose

$$J=\int_{0}^{1}x^{2}\mathrm{e}^{x}\mathrm{d}x$$

a) $J=\mathrm{e}\quad$ b) $J=\mathrm{e}-2\quad$ c) $J=\mathrm{e}+1\quad$ d) $J=2-\mathrm{e}$

 

10) On pose

$$K=\int_{0}^{1}\mathrm{e}^{ax}\cos(bx)\mathrm{d}x$$

a) $K=\dfrac{\mathrm{e}^{a}(\cos a-\cos b)}{a^{2}+b^{2}}$

 

b) $K=\dfrac{\mathrm{e}^{a}(\cos a+\cos b)}{a^{2}+b^{2}}$

 

c) $K=\dfrac{\mathrm{e}^{a}(b\sin b+a\cos b)-a}{a^{2}+b^{2}}$

 

d) $K=\dfrac{\mathrm{e}^{a}(b\sin b-a\cos b)+a}{a^{2}+b^{2}}$

 

11) Si $f$ est croissante sur $I$ et $g$ décroissante sur $I$, alors :

 

a) $g\circ f$ est croissante sur $I.$

 

b) $g\circ f$ est décroissante sur $I.$

 

c) $g\circ f$ est croissante puis décroissante.

 

d) $g\circ f$ est décroissante puis croissante.

 

12) Calculer $\lim\limits_{x\to 0}x^{x}$

 

a) $0\quad$ b) infini$\quad$ c) $1\quad$ d) $-1$

 

13) Comment choisir $f(0)$ pour que la fonction $f(x)=1-x\sin\dfrac{1}{x}$ soit continue au point $O\ ?$

 

a) $f(0)=0\quad$ b) $f(0)=1\quad$ c) $f(0)=-1\quad$ d) $f(0)=\dfrac{1}{2}$ 

 

14) Soit $y=3x^{2}-x.$ Calculer $\Delta y\ $ et $\ \mathrm{d}y$ au point $x=1\ $ et $\ \Delta x=0.01$

 

a) $\left\lbrace\begin{array}{rcl}\Delta y&=&0.1503\\\mathrm{d}y&=&0.1500\end{array}\right.\quad$ b) $\left\lbrace\begin{array}{rcl}\Delta y&=&0.1510\\\mathrm{d}y&=&0.1507\end{array}\right.$

 

c) $\left\lbrace\begin{array}{rcl}\Delta y&=&0.0503\\\mathrm{d}y&=&0.0500\end{array}\right.\quad$ d) $\left\lbrace\begin{array}{rcl}\Delta y&=&0.0510\\\mathrm{d}y&=&0.0507\end{array}\right.$

 

15) L'équation de la tangente à la courbe $(C)$ définie par $f(x)=x+\dfrac{1}{2}+\dfrac{\ln x}{x}$ au point $A$, intersection de $(C)$ et de la droite $D)$ d'équation $y=x+\dfrac{1}{2}$ est :

 

a) $y=2x+\dfrac{1}{2}\quad$ b) $y=-2x-\dfrac{1}{2}$

 

c) $y=-2x+\dfrac{1}{2}\quad$ d) $y=2x-\dfrac{1}{2}$

 

16) Soit la fonction $f(x)=x^{3}-3x+1.$ Montrer que :

 

a) Elle possède une racine complexe

 

b) Elle ne possède pas de racines réelles

 

c) Elle possède une racine réelle dans $]1\;,\ 2[$

 

a) Elle possède ne possède pas de racine réelle dans $]1\;,\ 2[$

 

17) Résoudre l'équation $8\mathrm{e}^{-x}-\mathrm{e}^{x}=2$

 

a) $x=\mathrm{e}^{2}\quad$ b) $x=\mathrm{e}^{-2}\quad$ c) $x=\ln 2\quad$ d) $x=-\ln 2$

 

18) Calculer l'intégrale

$$I=\int_{1}^{\mathrm{e}^{2}}\dfrac{\ln x}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x$$

a) $I=1\quad$ b) $I=4\quad$ c) $I=-1\quad$ d) $I=-4$

 

19) Calculer $I=\left(\dfrac{\cos\dfrac{\pi}{4}+\mathrm{i}\sin\dfrac{\pi}{4}}{\cos\dfrac{\pi}{4}-\mathrm{i}\sin\dfrac{\pi}{4}}\right)$

 

a) $I=\mathrm{i}\quad$ b) $I=-\mathrm{i}\quad$ c) $I=-1\quad$ d) $I=1$

 

20) Soit la suite $u_{n}=\sqrt{n^{2}+n+1}-n.$ Sa limite $\ell$ est :

 

a) $\ell=+\infty\quad$ b) $\ell=-\infty\quad$ c) $\ell=\dfrac{1}{2}\quad$ d) $\ell=-\dfrac{1}{2}$

 

 

$$\text{Durée 45 minutes}$$