BAC S COMPLEXE Polynésie 10 juin 2011

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$. L'unité graphique est 1~cm.

On désigne par A, B et C les points d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 2 - 3\text{i}, \:z_{\text{B}} = \text{i}$ et $z_{\text{C}} = 6 - \text{i}$.

On réalisera une figure que l'on complétera au fur et à mesure des questions.

Partie A

Calculer $\dfrac{z_{\text{B}} - z_{\text{A}}}{z_{\text{C}} - z_{\text{A}}}$.
En déduire la nature du triangle ABC.

Partie B

On considère l'application $f$ qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ distincte de i, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que :

$$z' = \dfrac{\text{i}(z - 2 + 3\text{i})} {z - \text{i}}$$

Soit D le point d'affixe $z_{\text{D}} = 1 - \text{i}$. Déterminer l'affixe du point D$'$ image du point D par $f$.

Montrer qu'il existe un unique point, noté E, dont l'image par l'application $f$ est le point d'affixe 2i.
Démontrer que E est un point de la droite (AB).

Démontrer que, pour tout point $M$ distinct du point B, O$M' = \dfrac{\text{A}M}{\text{B}M}$.
Démontrer que, pour tout point $M$ distinct du point A et du point B, on a l'égalité :

$$\left(\overrightarrow{u},~\overrightarrow{\text{O}M'} \right) = \left(\overrightarrow{\text{B}M},~\overrightarrow{\text{A}M} \right) + \dfrac{\pi}{2}\:\text{à}\:2\pi\:\text{près}.$$

Démontrer que si le point $M$ appartient à la médiatrice du segment [AB] alors le point $M'$
appartient à un cercle dont on précisera le centre et le rayon.
Démontrer que si le point $M'$ appartient à l'axe des imaginaires purs, privé du point B, alors le point $M$ appartient à la droite (AB).