Bac Maths D, Burkina 2015
Exercice 1
1. Montrer que le polynôme (z) admet une racine réelle z0 que l'on déterminera.
2. Déterminer trois nombres complexe a, b et c tel que : (z)=(z−z0)(az2+bz+c)
3. Résoudre dans (C), l'équation (z)=0
4. Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé (O ; →u, →v) (unité 2cm), on désigne par A, B et C les points d'affixes respectives i, 2+i et −1.
a) Placer les points A, B et C
b) Soit D l'image de A par la translation de vecteur →BC.
Calculer l'affixe de D.
c) Calculer le nombre Z=zAzA−zB.
Déterminer le module et un argument de Z.
En déduire la nature du triangle.
Exercice 2
A(−2 ; −1 ; 2) ; B(6 ; −5 ; 3) ; C(−1 ; 3 ; 10) et le vecteur →u(−4, −7,4)
1. a) Calculer →AB∧→AC et →AB⋅→AC
b) Interpréter géométriquement ces résultats
c) Calculer les distances AB et AC
d) En déduire la nature exacte du triangle ABC
2. Démontrer que les vecteurs →u et →AB∧→AC sont colinéaires.
3. Montrer que ‖ et en déduire l'aire du triangle ABC en fonction de la norme de \vec{u}.
4. Soit (1\ ;\ 1\ ;\ 1) un point de l'espace.
a) Les points A, B, C, D sont - ils coplanaires ?
b) Calculer (D\ ;\ (ABC)) et en déduire le volume \mathcal{V}, en unité de volume, de la pyramide de sommet D et de base le triangle ABC.
Exercice 3 Problème
Partie A
1. Étudier les variations de g
2. Calculer g(0).
En déduire que pour tout x\neq 0\;,\ (x)<0.
Partie B
\left\lbrace\begin{array}{lcl} f(x)&=&\dfrac{x}{\mathrm{e}^{x-1}}+2\;,\quad\text{si }x\neq 0\\ f(0)&=&3 \end{array}\right\rbrace
On désigne par (\mathcal{C}) la courbe représentative de f dans le plan muni d'un repère orthonormé (O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}) (unité graphique 2\,cm).
On admettra que f est dérivable en 0 et que f'(0)=-\dfrac{1}{2}
1. a) Déterminer la limite de f en −\infty
b) Établir que \dfrac{x}{\mathrm{e}^{x}-1}=\dfrac{x}{\mathrm{e}^{x}}\times\dfrac{1}{1-\mathrm{e}^{-x}} puis déterminer la limite de f en +\infty
En déduire que (\mathcal{C}) admet une asymptote horizontale en +\infty dont on donnera l'équation.
2. Montrer que la droite (D) d'équation y=−x+2 est une asymptote oblique à la courbe (\mathcal{C}) en −\infty
3. Calculer, pour tout x\neq 0, f'(x) et montrer que f'(x)=\dfrac{g(x)}{(\mathrm{e}^{x}−1)^{2}}
4. a) Donner le sens de variation de f
b) Dresser le tableau de variation de f
5. Soit (T) la tangente à (\mathcal{C}) au point d'abscisse nulle, écrire l'équation de (T)
6. Tracer (D), (T) et (C).
Partie C
1. Montrer que l'équation h(x)=0 admet une solution unique \alpha et que \alpha\in ]2\ ;\ 2.5[
2. On pose I=[2\ ;\ 2.5]
a) Démontrer que pour tout x\in I, on a : (x)\geq -20\quad\text{et}\quad(\mathrm{e}^{x}−1)^{2}\geq 40
b) En déduire que si x\in I\;,\quad -12\leq f'(x)\leq 0.
3. Soit \left(U_{n}\right) la suite définie sur \mathbb{N} par U_{0}=2 et U_{n+1}=\left(U_{n}\right).
a) Montrer par récurrence que pour tout n\in\mathbb{N}\;,\quad\text{on a }U_{n}\in I.
b) Montrer que pour tout n\in\mathbb{N}, |U_{n+1}−\alpha|\leq 12|U_{n}−\alpha|\quad\text{et que}\quad|U_{n}−\alpha|\leq\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-1}
c) En déduire que \left(U_{n}\right) converge vers \alpha.
d) Déterminer le plus petit entier n_{0} tel que pour tout n\geq n_{0}, on ait :|U_{n}−\alpha|\leq 10^{−3}
On donne :
\ln 2\simeq 0.69 ;
\ln 10\simeq 2.3 ;
\mathrm{e}^{2}\simeq 7.39 ;
\mathrm{e}^{2.5}\simeq 12.18 ;
\dfrac{1}{\mathrm{e}^{2}−1}1\mathrm{e}^{2-1}\simeq 0.15 ;
\dfrac{1}{\mathrm{e}^{2.5}−1}\simeq 0.09 ;
\left(\mathrm{e}^{2}−1\right)^{2}\simeq 40.83 ;
\left(\mathrm{e}^{2.5}-1\right)^{2}\simeq 125.
Commentaires
NOUGTARA (non vérifié)
lun, 05/26/2025 - 10:50
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Sollicitude d'anciens sujet bac
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