Bac Maths D, Burkina 2015

Exercice 1

Soit le polynôme : (z)=z3(1+2i)23z+2i1   

1. Montrer que le polynôme (z) admet une racine réelle z0 que l'on déterminera.

2. Déterminer trois nombres complexe a, b et c tel que : (z)=(zz0)(az2+bz+c)  

3. Résoudre dans (C), l'équation (z)=0  

4. Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé (O ; u, v) (unité 2cm), on désigne par A, B et C les points d'affixes respectives i, 2+i et 1.  

a) Placer les points A, B et C
 
b) Soit D l'image de A par la translation de vecteur BC.

Calculer l'affixe de D.  

c) Calculer le nombre Z=zAzAzB.

Déterminer le module et un argument de Z.  

En déduire la nature du triangle.

Exercice 2

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal direct (0 ; i, j, k), on donne les points

A(2 ; 1 ; 2) ; B(6 ; 5 ; 3) ; C(1 ; 3 ; 10) et le vecteur u(4, 7,4)  

1. a) Calculer ABAC et ABAC   

b) Interpréter géométriquement ces résultats  

c) Calculer les distances AB et AC  

d) En déduire la nature exacte du triangle ABC  

2. Démontrer que les vecteurs u et ABAC sont colinéaires.  

3. Montrer que et en déduire l'aire du triangle ABC en fonction de la norme de \vec{u}.  

4. Soit (1\ ;\ 1\ ;\ 1) un point de l'espace.  

a) Les points A, B, C, D sont - ils coplanaires ?  

b) Calculer (D\ ;\ (ABC)) et en déduire le volume \mathcal{V}, en unité de volume, de la pyramide de sommet D et de base le triangle ABC.

Exercice 3 Problème

Partie A   

On considère la fonction g définie sur \mathbb{R} par (x)=(1-x)-1.

1. Étudier les variations de g   

2. Calculer g(0).

En déduire que pour tout x\neq 0\;,\ (x)<0.  

Partie B

Soit la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
\left\lbrace\begin{array}{lcl} f(x)&=&\dfrac{x}{\mathrm{e}^{x-1}}+2\;,\quad\text{si }x\neq 0\\ f(0)&=&3 \end{array}\right\rbrace
 
On désigne par (\mathcal{C}) la courbe représentative de f dans le plan muni d'un repère orthonormé (O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}) (unité graphique 2\,cm).

On admettra que f est dérivable en 0 et que f'(0)=-\dfrac{1}{2}

1. a) Déterminer la limite de f en −\infty   
 
b) Établir que \dfrac{x}{\mathrm{e}^{x}-1}=\dfrac{x}{\mathrm{e}^{x}}\times\dfrac{1}{1-\mathrm{e}^{-x}} puis déterminer la limite de f en +\infty
 
En déduire que (\mathcal{C}) admet une asymptote horizontale en +\infty dont on donnera l'équation.  
 
2. Montrer que la droite (D) d'équation y=−x+2 est une asymptote oblique à la courbe (\mathcal{C}) en −\infty
 
3. Calculer, pour tout x\neq 0, f'(x) et montrer que f'(x)=\dfrac{g(x)}{(\mathrm{e}^{x}−1)^{2}}

4. a) Donner le sens de variation de f      
 
b) Dresser le tableau de variation de f  
 
5. Soit (T) la tangente à (\mathcal{C}) au point d'abscisse nulle, écrire l'équation de (T)  
 
6. Tracer (D), (T) et (C).  

Partie C 

Soit h la fonction définie sur \mathbb{R} par h(x)=f(x)-x  

1. Montrer que l'équation h(x)=0 admet une solution unique \alpha et que \alpha\in ]2\ ;\ 2.5[

2. On pose I=[2\ ;\ 2.5]       
 
a) Démontrer que pour tout x\in I, on a : (x)\geq -20\quad\text{et}\quad(\mathrm{e}^{x}−1)^{2}\geq 40       
 
b) En déduire que si x\in I\;,\quad -12\leq f'(x)\leq 0.  
 
3. Soit \left(U_{n}\right) la suite définie sur \mathbb{N} par U_{0}=2 et U_{n+1}=\left(U_{n}\right).       
 
a) Montrer par récurrence que pour tout n\in\mathbb{N}\;,\quad\text{on a }U_{n}\in I.       
 
b) Montrer que pour tout n\in\mathbb{N}, |U_{n+1}−\alpha|\leq 12|U_{n}−\alpha|\quad\text{et que}\quad|U_{n}−\alpha|\leq\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-1}      
 
c) En déduire que \left(U_{n}\right) converge vers \alpha.       
 
d) Déterminer le plus petit entier n_{0} tel que pour tout n\geq n_{0}, on ait :|U_{n}−\alpha|\leq 10^{−3}
 
On donne :    

\ln 2\simeq 0.69 ;

\ln 10\simeq 2.3 ;   

\mathrm{e}^{2}\simeq 7.39 ;  

\mathrm{e}^{2.5}\simeq 12.18 ;

\dfrac{1}{\mathrm{e}^{2}−1}1\mathrm{e}^{2-1}\simeq 0.15 ;

\dfrac{1}{\mathrm{e}^{2.5}−1}\simeq 0.09 ;

\left(\mathrm{e}^{2}−1\right)^{2}\simeq 40.83 ;

\left(\mathrm{e}^{2.5}-1\right)^{2}\simeq 125.

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