BAC S COMPLEXE Nouvelle-Calédonie, mars 2012
On considère le polynôme P défini sur C par
P(z)=z3−(2+i√2)z2+2(1+i√2)z−2i√2.
Montrer que le nombre complexe z0=i√2 est solution de l'équation
P(z)=0.
Déterminer les réels a et b tels que P(z)=(z−i√2)(z2+az+b).
En déduire les solutions dans C de l'équation P(z)=0.
Partie B
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct (O ; →u ; →v). On prendra 2~cm pour unité graphique.
On considère les points A, B, J et K d'affixes respectives :
zA=1+i,zB=1−i,zJ=i√2etzK=e3iπ4.
Placer les points A, B, J, K sur une figure qui sera complétée au fur et à mesure de l'exercice.
Soit L le symétrique du point J par rapport au point K. Montrer que l'affixe de L est égale à −√2.
Montrer que les points A, B, J et L appartiennent à un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.
Soit D le point d'affixe zD=−1+i. On considère !a rotation r de centre O qui transforme J en D.
Déterminer une mesure de l'angle de la rotation r.
Soit C l'image du point L par la rotation r. Déterminer l'affixe du point C.
Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier la réponse.
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