BAC S COMPLEXE Nouvelle-Calédonie, mars 2012

On considère le polynôme P défini sur C par

P(z)=z3(2+i2)z2+2(1+i2)z2i2.

Montrer que le nombre complexe z0=i2 est solution de l'équation

P(z)=0.

Déterminer les réels a et b tels que P(z)=(zi2)(z2+az+b).
En déduire les solutions dans C de l'équation P(z)=0.

Partie B

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct (O ; u ; v). On prendra 2~cm pour unité graphique.

On considère les points A, B, J et K d'affixes respectives :

zA=1+i,zB=1i,zJ=i2etzK=e3iπ4.

Placer les points A, B, J, K sur une figure qui sera complétée au fur et à mesure de l'exercice.
Soit L le symétrique du point J par rapport au point K. Montrer que l'affixe de L est égale à 2.
Montrer que les points A, B, J et L appartiennent à un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.
Soit D le point d'affixe zD=1+i. On considère !a rotation r de centre O qui transforme J en D.

Déterminer une mesure de l'angle de la rotation r.
Soit C l'image du point L par la rotation r. Déterminer l'affixe du point C.

Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier la réponse.

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