BAC S COMPLEXE Pondichéry avril 2012

Soit $z$ un nombre complexe. On rappelle que $\overline{z}$ est le conjugué de $z$ et que $|z|$ est le module de $z$. On admet l'égalité : $|z|^2 = z\overline{z}$.

Montrer que, si $z_{1}$ et $z_{2}$ sont deux nombres complexes, alors $\left|z_{1}z_{2}\right| = \left|z_{1}\right|\left|z_{2}\right|$.

Étude d'une transformation particulière

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct \Ouv, on désigne par A et B les points d'affixes respectives $1$ et $- 1$.

Soit $f$ la transformation du plan qui à tout point $M$ d'affixe $z \neq 1$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que:

\[z' = \dfrac{1 - z}{\overline{z} - 1}\]

Soit C le point d'affixe $z_{\text{C}} = - 2 + \text{i}$.

Calculer l'affixe $z_{\text{C}'}$ du point C$'$ image de C par la transformation $f$, et placer les points C et C$'$ dans le repère donné en annexe.
Montrer que le point C$'$ appartient au cercle $\mathcal{C}$ de centre O et de rayon 1. Montrer que les points A, C et C$'$ sont alignés.

Déterminer et représenter sur la figure donnée en annexe l'ensemble $\Delta$ des points du plan qui ont le point A pour image par la transformation $f$.
Montrer que, pour tout point $M$ distinct de A, le point $M'$ appartient au cercle $\mathcal{C}$.
Montrer que, pour tout nombre complexe $z \neq 1, \quad \dfrac{z' -1}{z - 1}$ est réel.

Que peut-on en déduire pour les points A, $M$ et $M'$ ?
On a placé un point D sur la figure donnée en annexe. Construire son image D$'$ par la transformation $f$.