Bac Math Polynésie juin 2012

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct (O ; u ; v), on considère les points A, B et C d'affixes respectives a=2+2i, b=36i et c=1.\\ \noindent La figure de l'exercice est donnée en annexe. Elle peut servir à émettre des conjectures, à vérifier des résultats. Quelle est la nature du triangle ABC ? Donner l'écriture complexe de la rotation r de centre B et d'angle π2. En déduire l'affixe du point A' image de A par r. Vérifier que l'affixe s du point S milieu de [AA'] est s=13232i. Démontrer que le point S appartient au cercle circonscrit au triangle ABC. On construit de la même manière C' l'image de C par la rotation de centre A et d'angle π2, Q le milieu de [CC'], B' l'image de B par la rotation de centre C et d'angle π2 et P le milieu de [BB'].\\ On admet que les affixes respectives de Q et de P sont q=12+52i et p=25i. Démontrer que sqpa=i. En déduire que les droites (AP) et (QS) sont perpendiculaires et que les segments [AP] et [QS] sont de même longueur. {Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation}. Démontrer que les droites (AP), (BQ) et (CS) sont concourantes.

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