Devoir n° 34 1e S

Classe: 
Première

Exercice 1

On considère l'équation d'inconnue x : (m−1)x2+2(m−4)x+(m−4)(m+2)=0
 
1) Étudier l'existence et le signe des racines de cette équation.
 
2) a) Déterminer une relation indépendante de m liant les racines x′ et x″ de cette équation.
 
b) En déduire les valeurs des racines doubles.
 
3) Calculer, en fonction de m, l'expression y=\dfrac{1}{1+x'}+\dfrac{1}{1+x''}.

Exercice 2

ABC est un triangle tel que BC=2a\;;\ AB=AC=3a(a>0). 
 
On note \theta l'angle \widehat{BAC}. 
 
Soit A' le milieu de [BC], H l'orthocentre de ABC\text{ et }B' le projeté orthogonal de B sur (AC).
 
1) Vérifier que \cos\theta=\dfrac{7}{9}.
 
2) Trouver deux réels \alpha\text{ et }\lambda pour que B' soit le barycentre de (A\;,\ \alpha)\text{ et }(C\;,\ \lambda).
 
3) Trouver trois réels x\;,\ y\text{ et }z tels que H soit le barycentre de (A\;,\ x)\;,\ (B\;,\ y)\text{ et }(C\;,\ z).

Exercice 3

Soit a\;,\ b\;,\ c trois réels non tous nuls; A\;,\ B\;,\ C trois points du plan.
 
On considère les fonctions vectorielle \vec{f} et scalaire g définies par : 
 
\vec{f}(M)=a\overrightarrow{MA}+b\overrightarrow{MB}+c\overrightarrow{MC}\text{ et }g(M)=a\,MA^{2}+b\,MB^{2}+c\,MC^{2}.
 
1) On suppose que a+b+c=0.
 
a) Montrer que les points A\;,\ B\text{ et }C sont alignés.
 
b) Montrer que g(M)=a\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=b\,\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=c\,\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}.
 
2) On suppose que a+b+c\neq 0.
 
a) Montrer que g(M)=(a+b+c)MG^{2}+g(G), où G est le barycentre de {(A\;,\ a)\;;\ (B\;,\ b)\;;\ (C\;,\ c)}.
 
b) Montrer que g(G)=\dfrac{1}{a+b+c} (ab\,AB^{2}+bc\,BC^{2}+ca\,CA^{2}).
 
Application : ABC est un triangle rectangle en A tel que : AC=AB=2d(d>0).
 
Déterminer, puis construire l'ensemble des points M du plan tels que : MA^{2}+2MB^{2}+MC^{2}=6d^{2}.

Exercice 4

Résoudre dans \mathbb{R} :
 
1) \sqrt{2x+3}\leq\sqrt{4x+3}-\sqrt{2x-1}
 
2) \sqrt{2x^{2}+3x-1}\leq x-1
 
3) |x^{2}+2x-3|>|2x-1.
 

Commentaires

Anonyme (non vérifié)

mer, 02/12/2020 - 14:18

Satisfait

Anonyme (non vérifié)

mer, 01/18/2023 - 20:47

Correction

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