BAC S COMPLEXE Pondichery_mars 2003

Première partie

On considère dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation suivante :

$$\text{(E)}\quad z^3 + 2z^2 - 16 = 0.$$

 Montrer que 2 est solution de (E), puis que (E)
peut s'écrire sous la forme : $(z - 2)\left(az^2 + bz + c\right) = 0$, où $a,~b$  et $c$ sont trois réels que l'on déterminera.

 En déduire les solutions de l'équation (E) sous forme algébrique, puis sous forme exponentielle.

Deuxième partie

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal  $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$,.

 Placer les points A, B et D d'affixes respectives

$$z_{\text{A}} = - 2 - 2\text{i},~z_{\text{B}} = 2 \quad \text{et} \quad  z_{\text{D}} = - 2 + 2\text{i}.$$

  Calculer l'affixe $z_{\text{C}}$ du point C tel que ABCD soit un parallélogramme. Placer C.

 Soit E l'image de C par la rotation de centre B et d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$ et F l'image de C par la rotation de centre D et d'angle  $\dfrac{\pi}{2}$.
 
         Calculer les affixes des points E et F, notées $z_{\text{E}}$ et $z_{\text{F}}$.

         Placer les points E et F.

    
         Vérifier que : $\dfrac{z_{\text{F}} - z_{\text{A}}}{z_{\text{E}} - z_{\text{A}}} = \text{i}$.

         En déduire la nature du triangle AEF.

 Soit  I le milieu de [EF]. Déterminer l'image du triangle EBA par la rotation de centre I et d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$.