Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle I et soit a un élément de I.
Soient A et B les points d'affixes respectives 4 et 3i. L'affixe du point C tel que le triangle ABC soit isocèle avec (→AB, →AC)=π2 est :
7+4i
1−4i
−3i
On considère trois suites (un), (vn) et (wn) ayant, pour tout entier naturel n, les propriétés suivantes : un≤vn≤wn, lim Alors :
\lim_{n\rightarrow +\infty}(v_{n})=0
la suite (v_{n}) est minorée
pour tout n de \mathbb{N}, on a : -1\leq v_{n}\leq 1
on ne sait pas dire si la suite (v_{n}) a une limite ou non
Une urne contient 8 boules indiscernables au toucher, 5 sont rouges et 3 sont noires. On tire une boule dans l'urne, on note sa couleur, on la remet dans l'urne ; on procède ainsi à 5 tirages successifs et deux à deux indépendants. Alors, la probabilité d'obtenir 5 fois une boule noire est :
\left(\dfrac{1}{5}\right)^{5}
\left(\dfrac{3}{8}\right)^{3}\times\left(\dfrac{3}{8}\right)^{3}
\left(\dfrac{3}{8}\right)^{5}
\ln(\sqrt{\mathrm{e}^{7}})+\dfrac{\ln(\mathrm{e}^{9})}{\ln(\mathrm{e}^{2})}=\dfrac{\mathrm{e}^{\ln 2+\ln 3}}{\mathrm{e}^{\ln 3-\ln 4}}
Soit la suite (u_{n}) définie par u_{n}=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^{2}}+\ldots+\dfrac{1}{2^{n}} Alors, on a :
(u_{n}) est strictement décroissante
\lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}=+\infty
\lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}=2
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O\;,\ \vec{e}_{1}\;,\ \vec{e}_{2}). Soient A\;,\ B\;,\ C et D les points d'affixes respectives 1, \mathrm{i}\;,\ -1 et -\mathrm{i}. Alors, l'ensemble des points M d'affixe z tels que \dfrac{z+\mathrm{i}}{z+1} soit un imaginaire pur est :
le cercle de diamètre [BD] privé du point C
le cercle de diamètre [CD] privé du point C
la droite (CD) privée du point C
la médiatrice du segment [AB]
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O\;,\ \vec{e}_{1}\;,\ \vec{e}_{2}). Alors, l'ensemble des points M d'affixe z tels que |z-1+\mathrm{i}|=|\sqrt{3}-\mathrm{i}| a pour équation :
y=x+\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}
(x-1)^{2}+(y+1)^{2}=4
(x-1)^{2}+(y+1)^{2}=2
(x+1)^{2}+(y-1)^{2}=2
Soit (u_{n}) la suite définie pour tout n\in\mathbb{N}^{*} par u_{n}=(-1)^{n}. Alors, la suite de terme général \dfrac{u_{n}}{n} converge.
Soit z=3+\mathrm{i}\sqrt{3}, alors pour tout entier naturel n non nul, z^{3n} est imaginaire pur.