BAC S COMPLEXE Polynésie septembre 2002

\textbf{Partie A}

$z_1$ et $z_2$ sont des nombres complexes ; rŽésoudre le système d'Žéquations suivant :

$$\left\{\begin{array}{l c l} z_1\sqrt{3} - z_2&=&-2\\ z_1 - z_2\sqrt{3}&=&- 2\text{i}\\ \end{array}\right.$$

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonorméŽ direct de centre O, d'unitéŽ graphique 4 cm, on considère les points A et B d'affixes
respectives :

$$z_{\text{A}} = - \sqrt{3} + \text{i}, \qquad z_{\text{B}} = -1 + \text{i}\sqrt{3}.$$

Donner les Žécritures de $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$ sous forme
exponentielle.

Placer les points A et B.

Calculer module et argument de $\dfrac{z_{\text{A}}}{z_{\text{B}}}$.

En dŽéduire la nature du triangle ABO et une mesure de l'angle $\left( \overrightarrow{\text{OA}}~;~\overrightarrow{\text{OB}}\right)$.

DŽéterminer l'affixe du point C tel que ACBO soit un losange. Placer C. Calculer l'aire du triangle ABC en cm$^2$.

\textbf{Partie B}

Soit $f$ la transformation qui ˆà tout point $M$ d'affixe $z$ associe le
point $M'$ d'affixe $z'$ telle que

$$z' = \text{e}^{-\frac{\text{i}\pi}{6}}z.$$

DéŽfinir cette transformation et donner ses éŽlŽéments caractŽéristiques.

Quelles sont, sous forme exponentielle, les affixes de A$'$, B$'$, et
C$'$ images par $f$ de A, B et C ?

Quelle est l'aire du triangle A$'$B$'$C$'$ en cm$^2$ ?

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{AmeriqueNord_juin2002}{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù

{\textbf{Amérique du Nord juin 2002}}

\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{AmeriqueNord_juin2002_retour}{Retour au tableau}

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv. On prendra 2 cm pour unité graphique.

\vspace{0,2cm}

On considère l'application F du plan dans lui même qui, à tout point $M$ d'affixe
$z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que :
$$z'= (1 + \text{i})z + 2.$$

Soit A le point d'affixe $-2 + 2$i.

Déterminer les affixes des points $\text{A}'$ et B vérifiant respectivement
A$'$ = F(A) et F(B) = A.

Méthode de construction de l'image de $M$.

Montrer qu'il existe un point confondu avec son image. On notera
$\Omega$ ce point et $\omega$ son affixe.

Établir que pour tout complexe $z$ distinct de
$\omega,~\dfrac{z' - z}{\omega - z} = -$i.

Soit $M$ un point distinct de $\Omega$.

Comparer $MM'$ et $M\Omega$ et déterminer une mesure
de l'angle $( \overrightarrow{M\Omega},~ \overrightarrow{MM'})$. En déduire une méthode de construction de $M'$ à partir de $M$.

étude de l'image d'un ensemble de points.

Donner la nature et les éléments caractéristiques de l'ensemble
$\Gamma$, des points du plan dont l'affixe $z$ vérifie $|z + 2 - 2\text{i}| = \sqrt{2}$.

Vérifier que B est un point de $\Gamma$.

Démontrer que, pour tout $z$ élément de $\mathbb{C}$
$$z' + 2 = (1 + \text{i})(z + 2 - 2\text{i}).$$

Démontrer que l'image par F de tout point de $\Gamma$ appartient au cercle
$\Gamma `$ de centre A$'$ et de rayon 2.

Placer O, A, B, A$'$, $\Gamma$ et $\Gamma'$ sur une même figure.