BAC S COMPLEXE Amérique du Nord juin 2002

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv. On prendra 2 cm pour unité graphique.

\vspace{0,2cm}

On considère l'application F du plan dans lui même qui, à tout point $M$ d'affixe
$z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que :
\[z'= (1 + \text{i})z + 2.\]

Soit A le point d'affixe $-2 + 2$i.

Déterminer les affixes des points $\text{A}'$ et B vérifiant respectivement
A$'$ = F(A) et F(B) = A.

Méthode de construction de l'image de $M$.

Montrer qu'il existe un point confondu avec son image. On notera
$\Omega$ ce point et $\omega$ son affixe.

Établir que pour tout complexe $z$ distinct de
$\omega,~\dfrac{z' - z}{\omega - z} = -$i.

Soit $M$ un point distinct de $\Omega$.

Comparer $MM'$ et $M\Omega$ et déterminer une mesure
de l'angle $( \overrightarrow{M\Omega},~ \overrightarrow{MM'})$. En déduire une méthode de construction de $M'$ à partir de $M$.

étude de l'image d'un ensemble de points.

Donner la nature et les éléments caractéristiques de l'ensemble
$\Gamma$, des points du plan dont l'affixe $z$ vérifie $|z + 2 -
2\text{i}| = \sqrt{2}$.

Vérifier que B est un point de $\Gamma$.

Démontrer que, pour tout $z$ élément de $\mathbb{C}$
\[z' + 2 = (1 + \text{i})(z + 2 - 2\text{i}).\]

Démontrer que l'image par F de tout point de $\Gamma$ appartient au cercle
$\Gamma `$ de centre A$'$ et de rayon 2.

Placer O, A, B, A$'$, $\Gamma$ et $\Gamma'$ sur une même figure.