BAC S COMPLEXE Amérique du Nord juin 2002

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv. On prendra 2 cm pour unité graphique.

\vspace{0,2cm}

On considère l'application F du plan dans lui même qui, à tout point M d'affixe
z, associe le point M d'affixe z tel que :
z=(1+i)z+2.

Soit A le point d'affixe 2+2i.

Déterminer les affixes des points A et B vérifiant respectivement
A = F(A) et F(B) = A.

Méthode de construction de l'image de M.

Montrer qu'il existe un point confondu avec son image. On notera
Ω ce point et ω son affixe.

Établir que pour tout complexe z distinct de
ω, zzωz=i.

Soit M un point distinct de Ω.

Comparer MM et MΩ et déterminer une mesure
de l'angle (MΩ, MM). En déduire une méthode de construction de M à partir de M.

étude de l'image d'un ensemble de points.

Donner la nature et les éléments caractéristiques de l'ensemble
Γ, des points du plan dont l'affixe z vérifie |z+22i|=2.

Vérifier que B est un point de Γ.

Démontrer que, pour tout z élément de C
z+2=(1+i)(z+22i).

Démontrer que l'image par F de tout point de Γ appartient au cercle
Γ de centre A et de rayon 2.

Placer O, A, B, A, Γ et Γ sur une même figure.

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