BAC S COMPLEXE Antilles-Guyane juin 2002

Le plan $\mathcal{P}$ est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv,
(unité graphique 2~cm).

On considère les points I et A d'affixe respectives 1 et $- 2$.
Le point K est le milieu du segment [IA].

On appelle $(\mathcal{C})$ le cercle de diamètre [IA]. Faire une
figure et la compléter au fur et à mesure.

Soit B le point d'affixe $b = \dfrac{1 +
4\text{i}}{1 - 2\text{i}}$ . Écrire $b$ sous forme algébrique et montrer que B appartient au cercle $(\mathcal{C})$.

Soit D le point du cercle $(\mathcal{C})$ tel que
l'angle $\left(\overrightarrow{\text{KI}},~ \overrightarrow{\text{KD}}\right) =
\dfrac{\pi}{3} + 2 k \pi$ où $k$ est un entier relatif et soit $d$ l'affixe de D.

Quel est le module de $d + \dfrac{1}{2}$~ ? Donner un argument de $d + \dfrac{1}{2}$.

En déduire que $d = \dfrac{1}{4} + 3 \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{4}$.

Déterminer un réel $a$ vérifiant l'égalité $\dfrac{1 + 2\text{i}a}
{1 - \text{i}a} = \dfrac{1}{4} + 3\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{4}$.

Soit $x$ un réel non nul et $M$ le point d'affixe $m =
\dfrac{1 + 2 \text{i}x}{1 - \text{i}x}$. On pose

$Z = \dfrac{(m -1)}{(m + 2)}$.
Calculer $Z$ et en déduire la nature du triangle AI$M$.

Soit $N$ un point, différent de A du cercle $(\mathcal{C})$ et
$n$ son affixe.

Démontrer qu'il existe un réel $y$ tel que $n =
\dfrac{1 + 2\text{i}y}{1 - \text{i}y}$.