BAC S COMPLEXE Asie juin 2002

Dans le plan complexe $(\mathcal{P})$ rapporté au repère
orthonormal direct \Ouv, on considère les quatre points A, B, C et D d'affixes respectives $3,~ 4\text{i},~ - 2 + 3\text{i}$ et $1 - \text{i}$.

Placer les points A, B, C et D dans le plan.

Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier votre réponse.

On considère dans l'ensemble des complexes les équations :
\[z^2 -(1 + 3\text{i})z -6 + 9\text{i} = 0~~ (1) \quad \text{et} \quad
z^2 -(1 + 3\text{i})z + 4 + 4\text{i} = 0~~ (2)\]

Montrer que l'équation (1) admet une solution réelle $z_1$, et
l'équation (2) une solution imaginaire pure $z_2$.

Développer $(z - 3)(z + 2- 3\text{i})$, puis $(z-4\text{i})(z -
1 + \text{i})$.

En déduire les solutions de l'équation :

\[ \left(z^2 - (1 +3\text{i})z -6 + 9\text{i}\right)\left(z^2
- (1 +3\text{i})z+ 4+ 4\text{i}\right) = 0.\]

Soit $z_0$ la solution dont la partie imaginaire est strictement négative. Donner la forme trigonométrique de $z_0$.

Déterminer les entiers naturels $n$ tels que les points $M_n$
d'affixes $z_0^n$ soient sur la droite d'équation $y = x.$

On appelle $f$ l'application qui au point $M$, d'affixe $z$,
associe le point $M'$, d'affixe $z'$ telle que :

\[z' = z^2 - (1 + 3\text{i})z - 6 + 9\text{i}.\]

On pose $z = x + \text{i}y$ et $z'= x' + \text{i}y'$.
Exprimer $x'$ et $y'$ en fonction de $x$ et $y$.

Déterminer une équation de l'ensemble (H) des points $M$ pour lesquels $f(M)$ appartient à l'axe des ordonnées.