BAC S COMPLEXE Etranger_juin 2002

Le plan complexe $\mathcal{P}$ est rapporté au repère orthonormal
\Ouv.

Soit A le point d'affixe $z_{\text{A}} = \dfrac{\text{i}}{2}$.

$\mathcal{T}$ est l'application qui, à tout point $M$,
d'affixe $z$, distinct de A, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que
\[2zz'= \text{i} (z + z').\]

On appelle I et J les points d'affixes
respectives : $z_{\text{I}} = 1 ,~ z_{\text{J}} = \text{i}$ .
Soit K le milieu du segment [IJ].

Déterminer l'affixe $z_{\text{K}}$ de K.

Déterminer les affixes des images des points I, J, K par
l'application $\mathcal{T}$.

En déduire que $\mathcal{T}$ ne conserve pas les milieux.

Déterminer les points invariants par $\mathcal{T}$.

Montrer que $M' = \mathcal{T}(M)$ si et seulement si
$\left(z' - \dfrac{\text{i}}{2}\right)\left(z -
\dfrac{\text{i}}{2}\right) = - \dfrac{1}{4}$.

En déduire l'image par $\mathcal{T}$ du cercle $\mathcal{C}$ de
centre A et de rayon 1.