BAC S COMPLEXE Metropole_juin 2002

Le plan complexe est rapporté àun repère orthonormal direct \Ouv{}
[unité graphique : 2~cm].

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation : $z^2 - 2\sqrt{3}z + 4 = 0$.
On pose $a=\sqrt{3}+\text{i}$ et $b=\sqrt{3}-\text{i}$. Écrire $a$ et $b$ sous
forme exponentielle et placer les points A et B d'affixes
respectives $a$ et $b$.

Soit $r$ la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$. Calculer l'affixe $a'$ du point $A'$ image du point A par $r$. Écrire $a'$ sous forme algébrique et placer $A'$ sur la figure précédente.

Soit $h$ l'homothétie de centre O et de rapport $-\dfrac{3}{2}$. Calculer l'affixe
$b'$ du point $B'$ image du point B par $h$. Placer $B'$ sur la figure précédente.

Soit $C$ le centre du cercle circonscrit au triangle O$A'B'$ et
$R$ le rayon de ce cercle. On désigne par $c$ l'affixe du point
$C$.

Justifier les égalités suivantes :

$$\begin{center} \begin{tabular}{ccc} $c\bar{c}=R^2$ & $(c-2\text{i})\left(\bar{c}+2\text{i}\right)=R^2$ & $\left(c+\dfrac{3\sqrt{3}}{2}-\dfrac{3}{2}\text{i}\right)\left(\bar{c}+\dfrac{3\sqrt{3}}{2}+\dfrac{3}{2}\text{i}\right) = R^2.$\\ \end{tabular} \end{center}$$

En déduire que $c-\bar{c}=2\text{i}$ puis, que $c+\bar{c}=-\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$.

En déduire l'affixe du point $C$ et la valeur de $R$.