BAC S COMPLEXE La Réunion juin 2002
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct
\Ouv{} (unité graphique : 1~cm).
On considère l'application f du plan dans lui-même, qui à tout point M
d'affixe z associe le point M′ d'affixe z′=z3−3z2+3z.
On considère les points B et C d'affixes respectives i
et i√3.
Calculer les affixes des points images de O, B et C par f. Placer
les points B, C et leurs images B′ et C′ sur une figure. L'application f
conserve-t-elle l'alignement ?
Montrer qu'un point M d'affixe z est invariant
par f si et seulement si z vérifie l'équation
z3−3z2+2z=0.
En déduire que f possède trois points invariants, dont on
déterminera les affixes.
Montrer pour tout z de C l'égalité suivante :
z′−1=(z−1)3.
Soit z un nombre complexe différent de 1, on note r le module
de z−1 et α un argument de z−1. Exprimer le module r′ et
un argument α′ de z′−1 en fonction de r et de α.
Soit A le point d'affixe 1, déduire des résultats précédents une reIation
entre la distance AM′ et la distance AM, et une relation entre une mesure
de l'angle (→u, →AM′) et
une mesure de l'angle (→u, →AM).
Montrer que si M appartient au cercle Γ de centre A et
de rayon √2, alors M′ appartient à un cercle Γ′ de même
centre dont on déterminera le rayon.
Montrer que, si M appartient à une demi-droite ouverte
D d'origine A passant par le point B, alors M′ appartient à une
demi-droite D′'que l'on déterminera.
Justifier l'appartenance du point B′ à Γ′ et à D′.
Compléter la figure avec les différents éléments : Γ, Γ′,~ D et
D′.
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