BAC S COMPLEXE Liban_juin 2000

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.
On considère les points $A$ et $B$ d'affixes respectives i et $-$~ i.
Soit $f$ l'application qui à tout point $M$ du plan d'affixe $z$ distincte
de $-$~ i associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que

$$z' = \dfrac{1 + \text{i}z}{z + \text{i}}.$$

Quelle est l'image par l'application $f$ du
point O ?
Quel est le point qui a pour image par l'application
$f$ le point $C$ d'affixe $1 +i$ ?
Montrer que l'équation $\dfrac{1 + \text{i}iz}{z + \text{i}} = z$ admet deux solutions que l'on déterminera.
Vérifier que $z' = \dfrac{\text{i}(z - \text{i}i)}{z + \text{i}}$, en déduire
$\text{O}M' = \dfrac{\text{A}M}{\text{B}M}$ et :

$$\left(\vec{u} , \overrightarrow{\text{O}M'}\right) = \left(\overrightarrow{M\text{B}},~ \overrightarrow{M\text{A}}\right) + \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi~~\text{avec}~ k \in \Z.$$

Montrer que tous les points de l'axe des abscisses ont
leurs images par l'application $f$ situées sur un même cercle
$(\mathcal{C})$ que l'on précisera.
Soit $M$ un point du cercle de diamètre
[AB] différent de A et de B, montrer que son image $M'$ est située sur
l'axe des abscisses.