BAC S COMPLEXE Polynesie_juin 2000

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv, unité graphique 4 cm. Dans l'ensemble
des nombres complexesC, ~i désigne le nombre de module 1, et d'argument
π2.
On appelle f l'application, qui, à tout nombre complexe z différent de
2, associe
Z=f(z)=z2+iz+2i.

Si z=x+iy, x et y étant deux réels,
exprimer la partie réelle et la partie imaginaire de Z en fonction de x et de y.
On vérifiera que (Z)=x2+y22x+3y+2x2+(y+2)2.
En déduire la nature de :

l'ensemble E des points M d'affixe z, tels que Z soit un réel;
l'ensemble F des points M d'affixe z du plan, tels que Z soit un
imaginaire pur éventuellement nul.
Représenter ces deux ensembles.

On appelle A et B les points d'affixes respectives
zA=2i et zB=2i.
En remarquant que Z=zzAzzB , retrouver les ensembles
E et F par une méthode géométrique.
Calculer |f(z)1|×|z+2i|, et en
déduire que les points M d'affixe Z, lorsque le point M d'affixe z
parcourt le cercle de centre B et de rayon 5, sont tous sur un même cercle dont on précisera le rayon et l'affixe du centre.

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